[論文レビュー] The Existence of Coupling in the Category of Transitive Lie Algebroid

Xiaoyu Li, A. S. Mishchenko|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2013

Intracerebral and Subarachnoid Hemorrhage Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可移的リー代数分岐体に関連する接バンドル $TM$ とリー代数分岐体 $L$ 間の結合の存在について、必要十分条件を確立する。$\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ に外自己同型群が離散的になるように洗練された位相を導入することにより、このような結合が存在するための必要十分条件は、$L$ がこの新しい位相を備えた構造群に関して局所自明化可能であることであると示され、可移的リー代数分岐体の分類における基礎的問題が解決される。

ABSTRACT

The coupling of the tangent bundle $TM$ with the Lie algebra bundle $L$ (K.Mackenzie,2005, Definition 7.2.2) plays the crucial role in the classification of the transitive Lie algebroids for Lie algebra bundle $L$ with fixed finite dimensional Lie algebra $ g$ as a fiber of $L$. Here we give a necessary and sufficient condition for existence such a coupling. Namely we define a new topology on the group $\Aut( g)$ of all automorphisms of Lie algebra $ g$ and show that tangent bundle $TM$ can be coupled with the Lie algebra bundle $L$ if and only if the Lie algebra bundle L admits a local trivial structure with structural group endowed with such new topology. The second version of the article is different from the first because of the improvement of the text by invaluable efforts of professor J.Stasheff, to whom we submit our sincere gratitude.

研究の動機と目的

• 可移的リー代数分岐体における接バンドル $TM$ とリー代数分岐体 $L$ 間の結合が存在する条件を解明すること。
• $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})/\mathrm{Int}(\mathfrak{g})$ が離散的になるように $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ に新しい位相を定義すること。
• この新しい位相に関して $L$ の局所自明性に基づいた結合の存在基準を確立すること。
• マクケンジーの障害理論を一般化し、結合条件を明示的かつ必要十分なものとする。

提案手法

• $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})/\mathrm{Int}(\mathfrak{g})$ が離散的になるように、$\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ に細かい位相 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ を導入すること。
• 滑らかな写像 $\varphi: M \to \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ を定義し、その合成写像 $q: \mathrm{Aut}(\mathfrak{g}) \to \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})/\mathrm{Int}(\mathfrak{g})$ を分析すること。
• $q \circ \varphi$ が局所定数であるための必要十分条件が、すべての $x \in M$ と $X \in T_xM$ に対して $\frac{\partial \varphi}{\partial X} \varphi(x)^{-1} \in \mathrm{ad}\,\mathfrak{g}$ であることの証明。
• 局所自明化と分区関数を用いて $L$ 上の接続 $\nabla$ を構成し、自然写像 $\natural$ を通じてバンドル準同型 $\Xi: TM \to \mathrm{Out}\,\mathcal{D}_{\mathrm{Der}}(L)$ を定義すること。
• 各局所自明化領域で $\Xi$ の曲率 $R^\Xi$ が消えることを示し、$\Xi$ が有効な結合であることを証明すること。
• $U_\alpha \cap U_\beta$ の重複領域で $\Xi^\alpha = \Xi^\beta$ が成り立つことから、結合 $\Xi$ が大域的に正しく定義されることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可移的リー代数分岐体において、接バンドル $TM$ とリー代数分岐体 $L$ 間に結合が存在する条件は何か？
• RQ2 自己同型群 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ はどのように位相化されれば、外自己同型群 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})/\mathrm{Int}(\mathfrak{g})$ が離散的になるか？
• RQ3 結合の存在と、洗練された構造群に関して $L$ の局所自明性との間の正確な関係は何か？
• RQ4 結合条件を明示的かつ必要十分なものとすることで、可移的リー代数分岐体の障害理論を完成させることができるか？

主な発見

• 接バンドル $TM$ と $L$ 間の結合が存在するための必要十分条件は、リー代数分岐体 $L$ が、$\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})/\mathrm{Int}(\mathfrak{g})$ が離散的になるように洗練された位相を備えた構造群に関して局所自明化可能であることである。
• 結合の存在条件は、写像 $\varphi: M \to \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ と商写像 $q: \mathrm{Aut}(\mathfrak{g}) \to \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})/\mathrm{Int}(\mathfrak{g})$ の合成 $q \circ \varphi$ が局所定数であることと同値である。
• バンドル準同型 $\Xi: TM \to \mathrm{Out}\,\mathcal{D}_{\mathrm{Der}}(L)$ に誘導される曲率 $R^\Xi$ は、各局所自明化領域で恒等的に消える。これにより、$\Xi$ が有効な結合であることが確認される。
• 条件 $\nabla_X^\alpha - \nabla_X^\beta \in \mathrm{ad}\,L$ の下で、局所的な準同型 $\Xi^\alpha$ が重複領域 $U_\alpha \cap U_\beta$ で一致するため、結合 $\Xi$ は大域的に正しく定義される。
• 本構成により、所与の随伴バンドル $L$ を持つ可移的リー代数分岐体の存在の完全な基準が得られ、分類理論における基礎的問題が解決される。