[論文レビュー] Automorphisms of Strong Homotopy Lie Algebras of Local Observables

Patricia Ritter, Christian Saemann|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、2-プレクティック多様体から任意のn-プレクティック多様体へと、局所的観測可能量の強いホモトピーLie代数（shlalos）の構成を一般化し、これらのshlalosがねじれVinogradov代数ダルの切断のLie n-代数に弱く埋め込まれることを示している。弱い自己同型の関数的問題を、高次の括弧を備えた強化されたn-プレクティック構造を導入することで解決し、一貫性のあるカテゴリフィケーションされたポアソン構造を可能にするとともに、n-プレクティック多様体をシンプレクティックLie n-アレブロイドとして自然に解釈できるようにしている。

ABSTRACT

There is a well-established procedure of assigning a strong homotopy Lie algebra of local observables to a multisymplectic manifold which can be regarded as part of a categorified Poisson structure. For a 2-plectic manifold, the resulting Lie 2-algebra is isomorphic to a sub Lie 2-algebra of a natural Lie 2-algebra structure on an exact Courant algebroid. We generalize this statement to arbitrary n-plectic manifolds and study automorphisms on the arising Lie n-algebras. Our observations may be useful in studying the quantization problem on multisymplectic manifolds.

研究の動機と目的

• 2-プレクティック多様体から任意のn-プレクティック多様体への、局所的観測可能量の強いホモトピーLie代数の既知の構成を拡張すること。
• shlalosの弱い自己同型が、元のn-プレクティック多様体の構造を保存しないという問題を解決すること。
• 弱い自己同型の下で変換するk-項の次数付き反対称括弧を備えた強化により、shlalosをn-プレクティック多様体に関手的に割り当てる仕組みを確立すること。
• n-プレクティック多様体上の局所的観測可能量のLie n-代数が、ねじれVinogradov代数ダルの切断のLie n-代数の部分代数と弱く同型であることを示すこと。
• n-プレクティック多様体を、強化構造を備えたシンプレクティックLie n-アレブロイドとして特定することで、カテゴリフィケーションされたポアソン構造を提供すること。

提案手法

• 微分形式とハミルトニアン多ベクトル場を用いて、n-プレクティック多様体上の強いホモトピーLie代数の局所的観測可能量を構成する。
• 基礎 bundle が $ TM \bigoplus \bigwedge^{n-1}T^*M $ であるが、n-プレクティック形式によってねじれた、AtiyahおよびCourant代数ダルの一般化としてねじれVinogradov代数ダルを導入する。
• ねじれVinogradov代数ダルの切断のLie n-代数が、局所的観測可能量のshlaloと弱く同型な部分代数を含むことを示す。
• k-項の次数付き反対称括弧（次数 $1-k$）を追加することで、n-プレクティック多様体を強化し、弱い自己同型の下で非自明に変換されることを定義する。
• reduced 対称代数 $\bar{S}(V)$ 上のcoderivationを用いた $L_\infty$ 代数のコールゲブラ的 formalism を用いて、ホモトピー関係および構造写像を記述する。
• コペアの積、アンシャッフル、coderivation における次数付き符号を一貫してKoszul符号規約に従って取り扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-プレクティック多様体上のLie 2-代数の局所的観測可能量は、どのように任意のn-プレクティック多様体へ一般化できるか？
• RQ2 標準的なshlaloのCourant代数ダルの切断のLie n-代数への埋め込みが厳密でないのはなぜか、そしてこれをどのように是正できるか？
• RQ3 n-プレクティック多様体にどのような構造を追加すれば、関連するshlaloの弱い自己同型が、強化された多様体の自己同型に対応するようになるか？
• RQ4 n-プレクティック多様体上の局所的観測可能量のLie n-代数は、Courant代数ダルの高次版の切断のLie n-代数へ自然に埋め込めるか？
• RQ5 n-プレクティック多様体は、自然なカテゴリフィケーションされた解釈としてシンプレクティックLie n-アレブロイドとして見なせるか、そしてこれはshlaloの構造とどのように関係するか？

主な発見

• n-プレクティック多様体上の局所的観測可能量のshlaloは、ねじれVinogradov代数ダルの全切断のLie n-代数の部分代数と弱く同型である。
• ねじれVinogradov代数ダルの切断のLie n-代数への埋め込みには弱い同型が必要であり、これは厳密な自己同型構造の不一致を示している。
• shlaloの弱い自己同型は、元のn-プレクティック多様体の構造を保存しないため、標準的な設定では関手的でない。
• n-プレクティック多様体に次数 $1-k$ のk-項の次数付き反対称括弧を追加することで、弱い自己同型の下での関手的性が回復される。
• このような括弧を備えた強化n-プレクティック多様体は、シンプレクティックLie n-アレブロイドと同型であり、シンプレクティック多様体の自然なカテゴリフィケーションを提供する。
• shlaloの基礎となる2ベクトル空間は、シンプレクティックLie 1-アレブロイド $T[1]M$ 上の次数0関数の代数と同型であり、カテゴリフィケーションされた観測可能量の幾何的実現を確認する。