[論文レビュー] The expressive power of modal logic with inclusion atoms

Lauri Hella, Johanna Beate Stumpf|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、あるKripkeモデルのチームのクラスがMILCで定義可能であるための必要十分条件を示すことにより、モーダル包含論理（MILC）の表現力の完全な特徴付けを提供する。その条件とは、あるkに対してk-双対同値に関して閉じており、和集合に関して閉じており、空のチーム性質を満たしていることである。さらに、MILCの表現力は、モーダル論理に単一の単項非空性作用素を追加することで達成できることを示し、包含原子をこの作用素に基づく論理に翻訳する際の指数的下界2^nを確立する。

ABSTRACT

Modal inclusion logic is the extension of basic modal logic with inclusion atoms, and its semantics is defined on Kripke models with teams. A team of a Kripke model is just a subset of its domain. In this paper we give a complete characterisation for the expressive power of modal inclusion logic: a class of Kripke models with teams is definable in modal inclusion logic if and only if it is closed under k-bisimulation for some integer k, it is closed under unions, and it has the empty team property. We also prove that the same expressive power can be obtained by adding a single unary nonemptiness operator to modal logic. Furthermore, we establish an exponential lower bound for the size of the translation from modal inclusion logic to modal logic with the nonemptiness operator.

研究の動機と目的

• モーダル包含論理（MILC）の表現力をモデル理論的閉包性質の観点から特徴付けること。
• MILCの表現力が、単一の単項非空性作用素を追加したモーダル論理の表現力と等価であることを示すこと。
• MILCから非空性作用素を備えたモーダル論理への翻訳のサイズに対するタイトな指数的下界を確立すること。
• MILCにおける任意のarityの包含原子と単項包含原子の関係を調査すること。

提案手法

• チームはドメインの部分集合であるKripkeモデル上でチーム意味論を用い、包含原子の満たされ方を定義する。
• チームに基づく意味論に一般化されたk-双対同値関係をチームに適用する。
• モデル理論的議論を用いて、MILCで定義可能なクラスが和集合に関して閉じており、空のチーム性質を満たしていることを証明する。
• 包含原子がすべて2^nのチーム要素を必要とするKripkeモデルとチームの族を構築し、下界を確立する。
• 必須のチーム要素（A_T）に基づく数え上げ的議論を用い、n-arityの包含原子を定義する任意の非空性作用素を備えたモーダル論理の式は、少なくとも|A_T|回の作用素の出現を含むべきであることを示す。
• 真理関数的組み合わせを用いて任意のn-arityの包含原子を単項包含原子に還元し、全表現力の達成に単項原子が十分であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チーム付きKripkeモデルのクラスがモーダル包含論理で定義可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 標準的モーダル論理に単一の非空性作用素を追加することで、モーダル包含論理の表現力を捉えることができるか？
• RQ3 非空性作用素を備えたモーダル論理でn-arityの包含原子を表現するための最小の式サイズは何か？
• RQ4 モーダル包含論理から非空性作用素を備えたモーダル論理への翻訳が存在するか？もしあるならば、その計算複雑度は何か？

主な発見

• チーム付きKripkeモデルのクラスがMILCで定義可能であるための必要十分条件は、あるkに対してk-双対同値に関して閉じており、和集合に関して閉じており、空のチーム性質を満たしていることである。
• モーダル包含論理の表現力は、単一の単項非空性作用素を追加したモーダル論理の表現力と等価である。
• 非空性作用素を備えたモーダル論理の式でn-arityの包含原子p₁…pₙ⊆q₁…qₙを定義するには、少なくとも2ⁿ回の作用素の出現が必要である。
• 2ⁿの下界はタイトであり、すべての2ⁿ個の要素が包含原子を満たすために不可欠であるKripkeモデルとチームの構成によって実証されている。
• MILCにおけるすべてのn-arityの包含原子は、形式χ_K,u^k ⊆ χ_K,v^k の単項包含原子のみで表現可能であるため、全表現力を達成するには単項原子で十分である。
• 緩い意味論を用いたモーダル包含論理の充足可能性問題はEXPTIME完全であり、この複雑度結果を達成するために任意のarityの包含原子の使用が不可欠である。