[論文レビュー] The FDR-Linking Theorem

Weijie Su|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、FDRリンク定理を導入し、p値の任意の従属構造のもとで、Benjamini-Hochberg手順の非漸近的FDR制御バウンドを確立する新しい枠組みを提示する。FDRは主に帰無仮説のp値の同時分布に依存することを示す。主な結果は、FDRのタイトな上界であり、これは帰無仮説の従属構造にのみ依存し、対立仮説のp値が有界な影響を及ぼすことを明らかにし、新たな従属条件とFDR一貫性の分析を可能にする。

ABSTRACT

This paper introduces the exttt{FDR-linking} theorem, a novel technique for understanding extit{non-asymptotic} FDR control of the Benjamini--Hochberg (BH) procedure under arbitrary dependence of the $p$-values. This theorem offers a principled and flexible approach to linking all $p$-values and the null $p$-values from the FDR control perspective, suggesting a profound implication that, to a large extent, the FDR of the BH procedure relies mostly on the null $p$-values. To illustrate the use of this theorem, we propose a new type of dependence only concerning the null $p$-values, which, while strictly extit{relaxing} the state-of-the-art PRDS dependence (Benjamini and Yekutieli, 2001), ensures the FDR of the BH procedure below a level that is independent of the number of hypotheses. This level is, furthermore, shown to be optimal under this new dependence structure. Next, we present a concept referred to as extit{FDR consistency} that is weaker but more amenable than FDR control, and the exttt{FDR-linking} theorem shows that FDR consistency is completely determined by the joint distribution of the null $p$-values, thereby reducing the analysis of this new concept to the global null case. Finally, this theorem is used to obtain a sharp FDR bound under arbitrary dependence, which improves the $\log$-correction FDR bound (Benjamini and Yekutieli, 2001) in certain regimes.

研究の動機と目的

• p値の任意の従属構造のもとで、BH手順の非漸近的FDR制御に関する長年のギャップを埋めること。
• 仮説数に依存せずにFDR制御を保証する最小で柔軟な従属条件を同定すること。
• FDR一貫性という、FDR制御のより弱いが取り扱いやすい代替概念を導入・分析すること。
• FDR制御が本質的に帰無仮説のp値の従属構造によって決定されることを示し、分析を単純化すること。

提案手法

• BH手順のFDRを、帰無仮説のp値の同時分布のみに依存する形でバウンドするFDRリンク定理を導出する。
• FDR上界が、x ∈ [π₀α, 1] の範囲で、FDR₀(x)（帰無仮説のFDRレベルxにおける値）を積分したものであることを確立する。
• FDR₀(x)とSimes法の第一種誤り確率との関係を用いて、FDR制御をよく知られた多重仮説検定手順と結びつける。
• PRDSより厳密に弱いが、依然としてFDR制御を保証する新たな従属条件「PRDN（帰無仮説内での正の回帰従属）」を導入する。
• FDR一貫性を、帰無仮説のp値分布にのみ依存する概念として定義し、解析をグローバル帰無仮説の場合に還元する。
• 定理を応用して、任意の従属構造のもとで鋭いFDRバウンドを導出し、特定の状況下でBenjaminiとYekutieli（2001）の対数補正バウンドを改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p値の任意の従属構造のもとで、全同時分布に関する制限のない仮定を課さずに、BH手順の非漸近的FDR制御を確立できるか？
• RQ2 PRDSより厳密に弱いが、仮説数に依存せずにFDR制御を保証する従属条件は存在するか？
• RQ3 FDR一貫性（FDR制御の弱い形）は、帰無仮説のp値分布にのみ依存するか？
• RQ4 FDRリンク定理を用いて、対数補正バウンドなどの既存手法よりもタイトなFDRバウンドを導出できるか？
• RQ5 一般の帰無仮説の従属構造のもとで、FDRリンクバウンドはタイトか？

主な発見

• BH手順のFDRは、π₀α + π₀α ∫_{π₀α}¹ FDR₀(x)/x² dx でバウンドされ、このバウンドは帰無仮説のp値の同時分布にのみ依存する。
• FDRリンク定理は、独立性や特定の従属構造を仮定しなくても、任意の従属構造のもとで無条件に成立する。
• PRDN条件のもとでは、BH手順のFDRはαでバウンドされ、この従属構造において最適なバウンドである。
• FDR一貫性は、帰無仮説のp値分布によって完全に決定され、グローバル帰無仮説の場合の解析に還元可能である。
• FDRリンク定理は、帰無仮説のp値が弱い従属を示す場合に、BenjaminiとYekutieli（2001）の対数補正FDRバウンドを改善する。
• 定理は、帰無仮説と対立仮説のp値間の悪意ある従属構造に対してもBH手順が頑健であることを明らかにし、FDRバウンドが帰無仮説の従属構造にのみ依存することを示している。