[論文レビュー] The Field-Theoretic Approach in General Relativity and Other Metric Theories. A Review

А. Н. Петров, J. Brian Pitts|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 39被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論および他の計量理論を、重力が固定された背景時空上を伝播する場として扱う場理論的定式化についてレビューする。これにより、ラグランジアン形式を用いた正確な再定式化が可能になる。主な貢献は、ネーターの定理を用いて保存電流およびスーパーポテンシャルを導出することであり、シュバルツシルトブラックホールへの明示的応用に加え、ロービルト重力および質量のある重力子への拡張も行われる。

ABSTRACT

GR and other metric theories of gravity are formulated with an arbitrary auxiliary curved background in a Lagrangian formalism. A new sketch of how to include spinor fields is included. Conserved quantities are obtained using Noether's theorem and expressed as divergences of antisymmetric densities, connecting local perturbations with quasi-local conserved quantities. The background's arbitrariness matches the so-called non-localizability of gravitational energy (infinity of localizations). The formalism has two partly overlapping uses: practical applications of pure GR (with fictitious background) and foundational considerations in which background causality facilitates quantization. The Schwarzschild solution is a primary application. Various possibilities for calculating the mass using surface integration are given. A field-theoretic curved spacetime is given from spatial infinity to the horizon and even to the true singularity. Trajectories of test particles in the Schwarzschild geometry are gauge-dependent in that even breakdowns at the horizon can be suppressed (or generated) by naive gauge transformations. This fact illustrates the auxiliary nature of the background metric and the need for some notion of maximal extension---much as with coordinate transformations in geometric GR. A continuous collapse to a point mass in the field-theoretic framework is given. The field-theoretic method is generalized to arbitrary metric theories in $D$ dimensions. The results are developed in the framework of Lovelock gravity and applied to calculate masses of Schwarzschild-like black holes. The bimetric formalism makes it natural to consider a graviton mass. Babak and Grishchuk's numerical and hence nonperturbative work sheds light on questions of a (dis)continuous massless limit for massive pure spin-2 and the classical (in)stability of spin-2/spin-0 theory.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論および他の計量理論を、物理的内容を失わず固定背景時空上での場理論として再定式化すること。
• 背景依存の対称性を持つラグランジュ形式にノネーターの定理を適用し、保存電流および準局所的量を導出すること。
• 因果性およびゲージ依存性を定義する背景計量の役割、特に重力エネルギーの非局所性の文脈において、それを明確にすること。
• スーパーポテンシャルの表面積分を用いた方法が、シュバルツシルトブラックホールの質量を計算するのに有効であることを示すこと。
• この形式を任意のD次元計量理論、特にロービルト重力および質量のある重力子理論に拡張し、質量のない極限における挙動を検討すること。

提案手法

• 計量摂動を動的な場として扱い、固定された背景時空上を伝播する重力を場理論として定式化する。背景時空は曲がっており、対称的でない場合もあり得る。
• 重力場および物質場のラグランジアンを構築し、変分原理を用いて運動方程式を導出する。
• ラグランジアンにネーターの定理を適用し、反対称のスーパーポテンシャル（テンソル密度）の発散として表される保存電流を導出する。
• 曲率不変量、接続係数、キリングベクトル場を用いて、スーパーポテンシャルおよび電流の明示的表現を導出する。
• この形式を用いて、特にシュバルツシルト解に対して、空間的超曲面上の表面積分により保存量（質量など）を計算する。
• 高次元のロービルト重力にこの枠組みを一般化し、質量のある重力子の挙動を分析する。特に、質量がゼロに近づく極限の連続性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論を、物理的内容を損なわず固定背景時空上での場理論として正確に再定式化する方法は何か？
• RQ2 背景計量が保存量および因果性を定義する役割を果たすのはどのようなものか？特に重力エネルギーの非局所性の文脈において。
• RQ3 ノネーターの定理を用いて導出されたスーパーポテンシャルおよび保存電流は、シュバルツシルト解の文脈で知られている擬テンソル（例えばパパペトロのもの）とどのように関係するか？
• RQ4 この場理論的形式は、特異点を越えてでもスーパーポテンシャルの表面積分によるブラックホール質量の記述を一貫して可能にするか？
• RQ5 この形式は、特に質量のあるスピン2理論における安定性および質量のない極限の連続性に関して、どのような意味を持つのか？

主な発見

• GRの場理論的定式化は、標準的な幾何的定式化と正確に同等であり、背景計量は物理的実体ではなく数学的道具にすぎない。
• ノネーターの定理を用いて保存電流が導出され、反対称のスーパーポテンシャルの発散として表現され、局所的場の摂動が準局所的保存量に結びつく。
• シュバルツシルト解に対しては、スーパーポテンシャルの表面積分により質量を計算可能であり、時空幾何（ホライズンおよび特異点）は、ディラックのデルタ関数を用いてミンコフスキー空間上での場の配置として記述可能である。
• この形式においてテスト粒子の軌道はゲージ依存的であり、背景の補助的性質および最大的拡張の必要性が示され、幾何的GRにおける座標変換と類似している。
• この形式は自然に質量のある重力子を扱え、重力子質量がゼロに近づく極限における（非）連続性の分析が可能となり、質量のあるスピン2理論における安定性に影響を及ぼす。
• この方法は任意のD次元計量理論に一般化可能であり、ロービルト重力などに適用可能で、このような理論におけるシュバルツシルト型ブラックホールの質量を一貫して計算可能である。