[論文レビュー] The filled Julia set of a Drinfeld module and uniform bounds for torsion

Patrick Ingram|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所体およびアデール体上のドリンフェルト加群に対して、埋め込みジュリア集合とその成分加群を導入することにより、ドリンフェルト加群の力学的システム枠組みを確立する。成分加群の構造に関する予想から、ドリンフェルト加群における捩れの均一な有界性が従うことが証明され、特定の族に対してその予想が検証され、特殊な場合に明示的な均一な捩れ有界性が得られる。

ABSTRACT

If M is a Drinfeld module over a local function field L, we may view M as a dynamical system, and consider its filled Julia set J. If J^0 is the connected component of the identity, relative to the Berkovich topology, we give a characterisation of the component module J/J^0 which is analogous to the Kodaira-Neron characterisation of the special fibre of a Neron model of an elliptic curve over a non-archimedean field. In particular, if L is the fraction field of a discrete valuation ring, then the component module is finite, and moreover trivial in the case of good reduction. In the context of global function fields, the filled Julia set may be considered as an object over the ring of finite adeles. In this setting we formulate a conjecture about the structure of the (finite) component module which, if true, would imply Poonen's Uniform Boundedness Conjecture for torsion on Drinfeld modules of a given rank over a given global function field. Finally, we prove this conjecture for certain families of Drinfeld modules, obtaining uniform bounds on torsion in some special cases.

研究の動機と目的

• 局所およびグローバルな関数体上のドリンフェルト加群の力学的システム解釈を、埋め込みジュリア集合と成分加群を用いて確立すること。
• ドリンフェルト加群における捩れのプーンエンの均一有界性予想を含意する、アデール的成分加群の構造に関する予想を提示すること。
• 特定のドリンフェルト加群の族に対してその予想を証明し、それによりこれらの状況における均一な捩れ有効性を確立すること。
• 楕円曲線のコーディア＝ネロンモデルと類似の構造を、ドリンフェルト加群の文脈における成分加群に提供すること。
• 成分加群が小さい場所の割合を測る高さに類似した不変量 μ(φ, N, a) を定義し、それを捩れ有効性と関連付けること。

提案手法

• 局所関数体 L_v の代数的閉包の完備化 C_v 上での φ(C_v) の最大有界部分加群として、埋め込みジュリア集合 FJ(φ) を定義する。
• ベルコヴィッチ位相における単位元の連結成分 φ⁰(L_v) を導入し、商 FJ(φ, L_v)/φ⁰(L_v) を研究する。これは有限 A-加群をなす。
• ベルコヴィッチ解析的空間 A¹_Berk を用いて、埋め込みジュリア集合およびその成分の位相的・構造的性質を分析する。
• 有限場（N 個の例外を除く）において成分加群がイデアル a で消える割合を測る測度 μ(φ, N, a) ∈ [0, 1] を定義する。
• μ(φ, N, a) ≥ 1/q ならば、捩れ部分群 φ^Tors(L) のサイズは、r, N, a のみに依存する定数によって均一に有界される、と証明する。
• グローバル関数体上のドリンフェルト加群の理論を適用し、アデール的埋め込みジュリア集合を考察し、成分加群の構造を用いて捩れ有効性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所関数体上のドリンフェルト加群の成分加群 FJ(φ, L_v)/φ⁰(L_v) は、楕円曲線のコーディア＝ネロンモデルに類似した形で特徴付けられるか？
• RQ2 アデール的成分加群の構造に関する予想は、ドリンフェルト加群における捩れのプーンエンの均一有界性予想を含意するか？
• RQ3 どのドリンフェルト加群の族に対して、成分加群構造に関する予想が検証され、どのような均一な捩れ有効性が得られるか？
• RQ4 不変量 μ(φ, N, a) は、成分加群が小さい場所の分布とどのように関係し、捩れの増大をどのように制御するか？
• RQ5 ドリンフェルト加群の文脈において、楕円曲線との類似性は、成分加群および高さに基づく測度までどの程度まで拡張されるか？

主な発見

• 成分加群 FJ(φ, L_v)/φ⁰(L_v) は有限 A-加群であり、良い還元の場合は自明である。
• 任意のグローバル関数体上のドリンフェルト加群 φ に対して、アデール的成分加群は有限であり、その構造が捩れ有効性を支配する。
• μ(φ, N, a) ≥ 1/q ならば、捩れ部分群 φ^Tors(L) のサイズは、ランク r、イデアル a、および不正還元場所の数 N のみに依存する定数によって有界される。
• 成分加群構造に関する予想は、与えられたグローバル関数体上での与えられたランクのドリンフェルト加群におけるプーンエンの均一有界性予想を含意する。
• その予想は特定のドリンフェルト加群の族に対して証明され、それによりこれらの状況で明示的な均一な捩れ有効性が得られる。
• 本手法は、Ghioca の先行結果を一般化し、埋め込みジュリア集合と成分加群を中心的対象として用いることで、楕円曲線との類似性を拡張する。