[論文レビュー] The finite-state character of physical dynamics

Norman Margolus|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、物理的運動が根本的に有限状態であることを確立し、エネルギーと運動量が時間または距離のうちに区別可能な状態の最大数を定義することを示している。Nyquistと量子不確定性の境界を一般化することで、有限帯域幅の時間発展—古典的または量子的—が最大状態数に達することを証明し、エネルギーと運動量を離散的な時間および空間における状態数の測定値として再定義する。

ABSTRACT

Finite physical systems have only a finite amount of distinct state. This finiteness is fundamental in statistical mechanics, where the maximum number of distinct states compatible with macroscopic constraints defines entropy. Here we show that finiteness of distinct state is similarly fundamental in ordinary mechanics: energy and momentum are defined by the maximum number of distinct states possible in a given time or distance. More generally, any moment of energy or momentum bounds distinct states in time or space. These results generalize both the Nyquist bandwidth-bound on distinct values in classical signals, and quantum uncertainty bounds. The new certainty bounds are achieved by finite-bandwidth evolutions in which time and space are effectively discrete, including quantum evolutions that are effectively classical. Since energy and momentum count distinct states, they are defined in finite-state dynamics, and they relate classical mechanics to finite-state evolution.

研究の動機と目的

• 有限な物理系が有限個の区別可能な状態しか持たないことを確立し、有限性の役割を統計力学を越えて拡張すること。
• エネルギーと運動量が、与えられた時間または距離内で達成可能な異なる状態の最大数によって根本的に定義されることを示すこと。
• Nyquist帯域幅限界と量子不確定性原理を、有限時間または有限距離の時間発展における状態の区別可能性に対する確実性境界へ一般化すること。
• 有限帯域幅の波動関数—古典的または量子的—が離散的なサンプルから完全に再構成可能であることを示し、時間および空間における有効な離散性を示すこと。
• 古典的作用量と運動量を、異なる状態の数として再定義し、運動が運動エネルギーではなく運動量と速度の積によって制限されることを示すこと。

提案手法

• 時間発展をエネルギー固有状態の重ね合わせとして形式化する：$|\psi(t)\rangle = \sum_n a_n e^{-2\pi i \nu_n t} |E_n\rangle$、ここで $\nu_n = E_n/h$。
• 中心周波数 $\alpha$ の周りの周波数幅（モーメント）を $\langle \nu - \alpha \rangle_M = \left( \sum_n |a_n|^2 |\nu_n - \alpha|^M \right)^{1/M}$ として定義し、帯域幅の測定を一般化する。
• 時間における直交状態遷移を用いて境界を導出する：$(E - E_0)\tau \geq \frac{N-1}{N} \frac{h}{2}$、ここで $\tau$ は $N$ 個の異なる状態間の平均時間間隔。
• フーリエ双対性を適用する：位置と運動量の基底状態 $|n\rangle$ と $|k\rangle$ を離散フーリエ変換で関連づけ、有限帯域幅の力学をモデル化する。
• 等間隔のエネルギー準位 $E_k = kh/(N\tau)$ を持つハミルトニアン $\mathsf{H}$ を構築し、離散的時間発展 $\mathsf{U}_\tau |n\rangle = |n+1\rangle$ を保証する。
• サンプリング関数 $S(N,u) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i k u / N}$ を用いて、離散的サンプルから連続的時間発展を補間し、連続的および離散的表現の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー帯域幅に制限がある場合、有限時間間隔内で明確に区別可能な量子状態は最大で何個存在できるか？
• RQ2 古典的エネルギーと運動量の概念を、時間および空間における最大区別可能な状態数の測定値として再解釈できるか？
• RQ3 時間発展系で $N$ 個の直交する異なる状態を達成するために必要な最小帯域幅は何か？ これは不確定性原理およびNyquist限界とどのように関係するか？
• RQ4 有限帯域幅の下で、連続的時間における量子的発展がどれほど離散的サンプリングに等価であるか？
• RQ5 運動量と速度の積 $pv$ が運動エネルギー $E - mc^2$ よりも、運動状態の変化をより厳密に制限する理由は何か？

主な発見

• 任意の $N$ 個の異なる直交状態が時間発展で出現する場合、平均間隔 $ au$ を持つとき、$(E - E_0)\tau \geq \frac{N-1}{N} \frac{h}{2}$ の境界が成り立つ。これは $N=2$ の場合に不確定性原理を一般化する。
• エネルギーと運動量は、区別可能な状態の最大数を時間または距離あたりに定義し直され、有限状態力学における本質的測定値となる。
• 有限帯域幅の時間発展、量子系の離散的エネルギー準位を含む、すべての系が離散的サンプルから完全に再構成可能である。これは、時間および空間における有効な離散性を示唆する。
• 離散的シフト発展 $\mathsf{U}\_\tau |n\rangle = |n+1\rangle$ は、$N$ 個の等間隔のエネルギー固有状態の等重ね合わせによって実現され、$N$ 個の異なる状態を達成する理論的最小帯域幅を達成する。
• 連続的発展 $\psi(x,t) = \sum_{k=0}^{K-1} \psi(x,k) S(K,k-t)$ は、離散的サンプルから正確に補間可能であり、有限帯域幅の信号がその離散的サンプルより多くの情報を含まないことを証明する。
• 古典的作用量は、可能な異なる状態の数として再解釈され、運動量 $p$ が運動エネルギー $E - mc^2$ よりも、運動状態の変化をより厳密に制限することが示され、$pv$ が関連する測定値である。