[論文レビュー] The first and second fundamental theorems of invariant theory for the quantum general linear supergroup

Yang Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可換多項式スーパ-algebra $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ を構成することで、量子一般線型スーパ[group] $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$ の不変体理論における第一および第二の基本定理を確立した。量子ハウアー双対性を用いて、$\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不変部分代数が有限生成であることを証明し、その生成子を特定し、それらの関係を同定した。これは $m \geq \min\{k,r\}$ かつ $n \geq \min\{l,s\}$ である場合に限り、ぶらうどスーパ-algebra と同型である。

ABSTRACT

We develop the non-commutative polynomial version of the invariant theory for the quantum general linear supergroup ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$. A non-commutative ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-module superalgebra $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ is constructed, which is the quantum analogue of the supersymmetric algebra over $\mathbb{C}^{k|l}\otimes \mathbb{C}^{m|n}\oplus \mathbb{C}^{r|s}\otimes (\mathbb{C}^{m|n})^{\ast}$. We analyse the structure of the subalgebra of ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-invariants in $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ by using the quantum super analogue of Howe duality. The subalgebra of ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-invariants in $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ is shown to be finitely generated. We determine its generators and establish a surjective superalgebra homomorphism from a braided supersymmetric algebra onto it. This establishes the first fundamental theorem of invariant theory for ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$. We show that the above mentioned superalgebra homomorphism is an isomorphism if and only if $m\geq \min\{k,r\}$ and $n\geq \min\{l,s\}$, and obtain a monomial basis for the subalgebra of invariants in this case. When the homomorphism is not injective, we give a representation theoretical description of the generating elements of the kernel associated to the partition $((m+1)^{n+1})$, producing the second fundamental theorem of invariant theory for ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$. We consider two applications of our results. A complete treatment of the non-commutative polynomial version of invariant theory for ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m})$ is obtained as the special case with $n=0$, where an explicit SFT is proved, which we believe to be new. The FFT and SFT of the invariant theory for the general linear superalgebra are recovered from the classical (i.e., $q o 1$) limit of our results.

研究の動機と目的

• 量子一般線型スーパ[group] $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$ の非可換多項式版の不変体理論を開発すること。
• 古典的スーパ对孩子代数の量子アナログ $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ を、$\mathbb{C}^{k|l} \otimes \mathbb{C}^{m|n} \oplus \mathbb{C}^{r|s} \otimes (\mathbb{C}^{m|n})^*$ 上に構成すること。
• $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 内の $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不変部分代数の有限生成集合を特定し、第一基本定理を確立すること。
• $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不変部分代数の生成子間の代数的関係を記述し、第二基本定理を導出すること。
• $q \to 1$ の極限において、$\mathfrak{gl}_{m|n}$ の古典的 FFT および SFT を回復し、$n=0$ の場合（すなわち $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_m)$）を完全に扱うこと。

提案手法

• $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ を、ぶらうどスーパ-algebra を用いた古典的スーパ对孩子代数の量子変形として、非可換 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-モジュールスーパ-algebra として構成すること。
• $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 内の $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不変部分代数の構造を分析するために、量子スーパーオールダー双対性のアナログを適用すること。
• ぶらうどスーパ-algebra から不変部分代数への全射スーパ-algebra 同型を確立し、第一基本定理を証明すること。
• この同型が $m \geq \min\{k,r\}$ かつ $n \geq \min\{l,s\}$ である場合に限り同型であることを証明し、この場合に PBW 基底を構成すること。
• 同型が単射でない場合、核を表現論的に記述することで生成子間の関係を特定し、第二基本定理を導出すること。
• 量子結果の $q \to 1$ の極限を取ることで、$\mathfrak{gl}_{m|n}$ の古典的 FFT および SFT を回復すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換設定における古典的スーパ对孩子代数 $\mathcal{S}^{k|l}_{r|s}$ の量子変形としての適切な量子多項式スーパ-algebra $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ は何か？
• RQ2 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 内の $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不変部分代数の構造は何か？非可換性がある中でなぜ有限生成であるのか？
• RQ3 ぶらうどスーパ-algebra から不変部分代数への自然な準同型が同型であるのはいつか？その場合の PBW 基底は何か？
• RQ4 準同型が単射でない場合、不変部分代数の生成子間の代数的関係は何か？
• RQ5 量子 FFT および SFT が $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$ において $q \to 1$ の極限でどのように古典的結果に還元されるか？

主な発見

• $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 内の $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不変部分代数は有限生成であり、量子ハウアー双対性によって生成子が明示的に特定された。
• ぶらうどスーパ-algebra から不変部分代数への全射スーパ-algebra 同型が存在し、第一基本定理が確立された。
• この同型は $m \geq \min\{k,r\}$ かつ $n \geq \min\{l,s\}$ である場合に限り同型であり、この場合に不変部分代数の PBW 基底が構成された。
• 同型が単射でない場合、核が表現論的に記述され、生成子間の関係が得られ、第二基本定理が証明された。
• $q \to 1$ の極限において、$\mathfrak{gl}_{m|n}$ の古典的 FFT および SFT が量子結果から回復された。
• $n=0$ の場合、$\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_m)$ の非可換不変体理論の完全な取り扱いが得られ、おそらく初めての明示的 SFT が得られた。