[論文レビュー] The Fisher-Hartwig Formula and Generalized Entropies in XY Spin Chain

A. R. Its, V. E. Korepin|ArXiv.org|Jun 24, 2009

Quantum many-body systems参考文献 76被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、XYスピン鎖の基底状態におけるスピンブロックのエンタングルメントエントロピーおよびRényiエントロピーを計算するためにFisher-Hartwig公式を適用する。縮約密度行列の固有値およびその重複度の正確な漸近的表現を導出し、モジュラー形式によって支配されるスペクトルを明らかにし、異方性パラメータに依存する普遍的係数を有する対数的発散を示す。

ABSTRACT

Toeplitz matrices have applications to different problems of statistical mechanics. Recently they were used for calculation of entanglement entropy in spin chains. We use the Fisher-Hartwig formula to calculate entanglement entropy of large block of spins in the ground state of XY spin chain. We also calculate Renyi entropy and prove that the spectrum of the density matrix of a block of spins is exact geometric sequence [also different eigenvalues are degenerated differently].

研究の動機と目的

• XYスピン鎖の基底状態におけるスピンブロックのフォン・ノイマンエントロピーおよびRényiエントロピーを計算すること。
• Toeplitz行列式の漸近的挙動を用いて、縮約密度行列の固有値およびその重複度の漸近的挙動を導出すること。
• Fisher-Hartwig公式を介して、縮約密度行列のスペクトルとモジュラー形式との関係を確立すること。
• エンタングルメントエントロピーの大型ブロック極限を分析し、その普遍的な対数的スケーリング挙動を特定すること。
• 磁場の異なる領域に応じて分類される等方的（XX）および非等方的（XY）の場合に、この手法を拡張すること。

提案手法

• 縮約密度行列に関連するToeplitz行列式の漸近的挙動を分析するためにFisher-Hartwig公式を用いる。
• Rényiエントロピーの生成関数をモジュラー形式の積として表現し、密度行列のスペクトル的性質を活用する。
• 行列値記号を有するブロックToeplitz行列式の漸近展開を非等方的XYモデルに適用する。
• 密度行列のゼータ関数をモジュラー関数およびシータ級数と関連付けることで、縮約密度行列の固有値スペクトルを導出する。
• 分割の重複度の生成関数を用いて、大型ブロック極限における固有値の degeneracy を特徴付ける。
• シータ関数のモジュラー変換性質を応用し、$ n \to \infty $ における固有値重複度の漸近的挙動を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 XYスピン鎖の基底状態における大型スピンブロックのRényiエントロピーの漸近的挙動は何か？
• RQ2 XYモデルにおける縮約密度行列の固有値および重複度は、ブロックサイズにどのように依存するか？
• RQ3 XY鎖におけるエンタングルメントエントロピーは、異方性パラメータおよび磁場にどのように依存するか？
• RQ4 モジュラー形式および特殊関数を用いて、縮約密度行列のスペクトルを完全に特徴付けられるか？
• RQ5 エンタングルメントエントロピーは大型ブロックサイズの極限でどのように振る舞い、その主要な対数項の係数は何か？

主な発見

• $ h > 2 $ の場合、縮約密度行列の固有値は $ \lambda_n = e^{-\pi\tau_0 n + \frac{\pi\tau_0}{12} + \frac{1}{6}\ln\frac{k k'}{4}} $ で与えられ、$ n \to \infty $ において重複度 $ a_n $ は $ a_n \sim 2^{-3/2}3^{-1/4}n^{-3/4}e^{\pi\sqrt{n/3}} $ を満たす。
• $ h < 2 $ の場合、固有値は $ \lambda_n = e^{-2\pi\tau_0 n - \frac{\pi\tau_0}{6} + \frac{1}{6}\ln\frac{k'}{4k^2}} $ であり、重複度は $ 2b_n $ で与えられ、ここで $ b_n $ は相異なる整数への分割数を表す。
• Rényiエントロピー $ S(\rho_A, \alpha) $ は、ゼータ関数 $ \zeta_{\rho_A}(\alpha) = \sum_n a_n \lambda_n^\alpha $ を介して導出され、モジュラー形式の形で表現される。
• フォン・ノイマンエントロピーは、大型ブロック極限において普遍的な対数的発散を示し、主要項はモジュラーパラメータ $ \tau_0 $ によって決定される。
• 縮約密度行列のスペクトルは、Dedekindのエータ関数およびシータ関数に関連する生成関数によって完全に特徴付けられる。
• 本手法は等方的（XX）および非等方的（XY）の場合に適用可能であり、磁場強度が2と比較して異なる領域によって、異なる漸近的形をとる。