[論文レビュー] The fixation line

Olivier Hénard|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、n-Beta(2−α,α)- coalescents において n→∞ のときの最終共通祖先の塊数の極限定理を確立し、極限確率変数の母関数を計算するとともに、塊数過程の範囲内に与えられた整数が含まれる確率を特定する、前向きの集団モデルにおける後向き Lambda-coalescent に従うマコフ過程としての固定線を導入する。

ABSTRACT

We define a Markov process in a forward population model with backward genealogy given by the Lambda-coalescent. This Markov process, called the fixation line, is related to the block counting process through its hitting times. Two applications are given. The probability that the n-coalescent is deeper than the (n-1)-coalescent is studied. The distribution of the number of blocks in the last coalescence of n-Beta(2-alpha,alpha)-coalescents is proved to converge as n goes to infinity, and the generating function of the limiting random variable is computed. The probability for an integer to be in the range of the block counting process of n-Beta(2-alpha,alpha)-coalescents is also given.

研究の動機と目的

• 後向きに Lambda-coalescent に従う遺伝子系図を持つ前向きの集団モデルにおける、新たなマコフ過程「固定線」を定義すること。
• 固定線の到達時刻を用いて、n-コアレスエントと (n−1)-コアレスエントの深さの相違を分析すること。
• n-Beta(2−α,α)-coalescents において、最終共通祖先の塊数の極限定理を n→∞ のとき調査すること。
• 最後の共通祖先の段階における塊数を記述する極限確率変数の母関数を計算すること。
• n-Beta(2−α,α)-coalescents において、与えられた整数が塊数過程の範囲内に入る確率を特定すること。

提案手法

• 後向きに Lambda-coalescent に従う遺伝子系図を持つ前向きの集団モデルにおいて、固定線をマコフ過程として定義する。
• 固定線の到達時刻を通じて塊数過程と関連付け、共通祖先の発生イベントの確率的解析を可能にする。
• 最終共通祖先段階を研究するための具体的な例として、Beta(2−α,α)-coalescent を用いる。
• 極限定理を適用して、n→∞ のときの最終共通祖先における塊数分布の収束を示す。
• Lambda-coalescent の性質と固定線の構造を用いて、極限確率変数の母関数を導出する。
• 固定線の状態空間を分析することで、与えられた整数が塊数過程の範囲内に入る確率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n-コアレスエントが (n−1)-コアレスエントよりも深い確率は何か？ これは固定線の到達時刻とどのように関係するか？
• RQ2 n-Beta(2−α,α)-coalescents において、n→∞ のときの最終共通祖先段階における塊数の分布はどのように振る舞うか？
• RQ3 n-Beta(2−α,α)-coalescents の最後の共通祖先における塊数を記述する極限確率変数の母関数は何か？
• RQ4 n-Beta(2−α,α)-coalescents において、与えられた整数が塊数過程の範囲内に入る確率は何か？
• RQ5 固定線の構造は、Lambda-coalescent モデルにおける塊数過程とどのように関連するか？

主な発見

• n-Beta(2−α,α)-coalescents における最終共通祖先の塊数の分布は、n→∞ のときほとんど確実に極限定理に収束する。
• 最後の塊数を記述する極限確率変数の母関数は、共通祖先のパラメータを用いて明示的に計算されている。
• n-コアレスエントが (n−1)-コアレスエントよりも深い確率は、固定線の到達時刻を通じて特徴づけられる。
• n-Beta(2−α,α)-coalescents において、与えられた整数が塊数過程の範囲内に入る確率は、共通祖先のパラメータの関数として導出された。
• 固定線は、その到達時刻を通じて後向き遺伝子系図の重要な情報をエンコードする前向き時間のマコフ過程を提供する。