[論文レビュー] The fixed angle conjecture for QAOA on regular MaxCut graphs

Jonathan Wurtz, Danylo Lykov|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、3正則MaxCutグラフにおけるQAOAの固定角度予想について、数値的証拠を提示する。precomputedで普遍的な角度が、16頂点以下のすべての3正則グラフで高い近似比を達成することを示している。これらの固定角度は変分最適化を回避でき、実行速度が向上し、p ≥ 11ではGoemans-Williamsonアルゴリズムを上回る性能を示す。

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm (QAOA) is a near-term combinatorial optimization algorithm suitable for noisy quantum devices. However, little is known about performance guarantees for $p>2$. A recent work \cite{Wurtz_guarantee} computing MaxCut performance guarantees for 3-regular graphs conjectures that any $d$-regular graph evaluated at particular fixed angles has an approximation ratio greater than some worst-case guarantee. In this work, we provide numerical evidence for this fixed angle conjecture for $p<12$. We compute and provide these angles via numerical optimization and tensor networks. These fixed angles serve for an optimization-free version of QAOA, and have universally good performance on any 3 regular graph. Heuristic evidence is presented for the fixed angle conjecture on graph ensembles, which suggests that these fixed angles are ``close" to global optimum. Under the fixed angle conjecture, QAOA has a larger performance guarantee than the Goemans Williamson algorithm on 3-regular graphs for $p\geq 11$.

研究の動機と目的

• d-正則MaxCutグラフにおけるQAOAに、すべてのインスタンスで高い近似比を保証する普遍的な固定角度の存在を調査すること。
• これらの固定角度が、変分最適化のための効果的な初期推定値として機能し、古典的最適化ループへの依存を軽減できるかどうかを特定すること。
• 3正則グラフにおいて、p ≥ 11のとき、固定角度を用いたQAOAが、最高の古典的MaxCutソルバー（Goemans-Williamson）よりも優れた性能保証を達成できるかどうかを評価すること。
• 特に、グラフ集合全体にわたるQAOAパラメータ空間の構造、特に固定角度がグローバル最適解にどれほど近いかを探索すること。
• 反復的最適化を伴わずに、計算的に効率的かつ事前に計算された角度のセットを提供し、堅牢な性能を保証すること。

提案手法

• 大規模な正則MaxCutグラフにおける期待値を計算するため、テンソルネットワークシミュレーションを用いたQAOAパラメータの数値最適化。
• 大ループ予想に基づき、小さなサイクルをもたない「最悪ケースのグラフ」における最適化を通じて固定角度を計算。
• 16頂点以下のすべての3正則グラフに対して、固定角度における近似比を評価し、固定角度予想の妥当性を検証。
• 勾配上昇で最適化された角度との比較を通じて、固定角度がグローバル最適解にどれほど近いかを評価。
• 大規模なグラフにおける期待値を効率的に計算するため、局所的QAOA状態のテンソルネットワークを用いた分解。
• パラメータ空間の構造の分析、特に固定角度と最適化された角度との間のユークリッド距離を用い、吸引域への近接度を評価。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのd-正則MaxCutグラフに対して、グラフ構造に依存せずに高い近似比を保証する固定角度が存在するか？
• RQ2 これらの固定角度が、変分最適化のための効果的なウォームスタートとして機能し、収束時間を大幅に短縮できるか？
• RQ3 pのどの値において、固定角度を用いたQAOAが、近似比保証の観点でGoemans-Williamsonアルゴリズムを上回るか？
• RQ4 グラフ集合全体にわたるQAOAエネルギー・ランドスケープにおいて、固定角度がグローバル最適解にどれほど近いか？
• RQ5 最適角度の集中現象と固定角度QAOAの成功を説明するパラメータ空間の構造的性質は何か？

主な発見

• 16頂点以下のすべての3正則グラフにおいて、固定角度予想は成り立つ。性能保証に違反するインスタンスは存在しない。
• p ≥ 11のとき、固定角度を用いたQAOAは、最高の古典的MaxCutソルバー（Goemans-Williamson）を上回る性能保証を達成する。
• p = 2のとき、固定角度の近似比とグローバル最適解との平均差は0.003未満であり、最適性能に極めて近いことが示された。
• 固定角度は通常、グローバル最適解と同じ吸引域に位置しており、これが異なるグラフ間でのパラメータの転送性を説明している。
• 固定角度は滑らかで、反ダイアバティックプロトコルに類似しており、滑らかなパラメータの変化と最適性能の間の潜在的な関連性を示唆している。
• 固定角度の使用により、最適化フリーのQAOA実行が可能となり、変分最適化と比較して実行時間が100〜1000倍速くなる可能性がある。