[論文レビュー] The forgotten monoid

Jean-Christophe Novelli, Anne Schilling|ArXiv.org|Jun 20, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、$a < b < c$ に対して $acb \equiv bac$ および $bca \equiv cab$ という関係によって定義される置換上の同値関係から生じる組合せ論的構造、すなわち「忘れられたモノイド」を特徴づける。$S_n$ における忘れられた同値類は $n^2 - 3n + 4$ 個存在し、それぞれが逆転数と $1$ と $n$ の相対的順序によって一意に決定されることを証明する。また、各同値類におけるゲゼルのクasi対称関数の和が、リボンシューファー関数の 0-1 和であることを示している。

ABSTRACT

We study properties of the forgotten monoid which appeared in work of Lascoux and Schutzenberger and recently resurfaced in the construction of dual equivalence graphs by Assaf. In particular, we provide an explicit characterization of the forgotten classes in terms of inversion numbers and show that there are n^2-3n+4 forgotten classes in the symmetric group S_n. Each forgotten class contains a canonical element that can be characterized by pattern avoidance. We also show that the sum of Gessel's quasi-symmetric functions over a forgotten class is a 0-1 sum of ribbon-Schur functions.

研究の動機と目的

• ラスコーファとシューツェンベルガーによって導入され、後に双対同値グラフで再発見された、忘れられたモノイドを再表現・特徴づけること。
• 対称群 $S_n$ における忘れられた同値類の正確な数と構造的性質を特定すること。
• 忘れられた同値類とクasi対称関数の間の関係を確立し、特にそれらの和がリボンシューファー関数の重複のない和であることを示すこと。
• ザブロツキが提起した、これらの同値類のクasi対称関数に関する構造に関する予想を証明すること。

提案手法

• $a < b < c$ に対して $acb \equiv bac$ および $bca \equiv cab$ という2つの関係を用いて忘れられたモノイドを定義し、置換上の同値類を生成する。
• 各忘れられた同値類を逆転数と置換内における $1$ と $n$ の相対的順序によって特徴づける。
• 各同値類に属する標準的代表元（辞書式に最小の要素）を特定し、それがパターン 132 と 231 を避けることによって特徴づけられることを示す。
• $\mathrm{NS}(\sigma) = (\Phi(\sigma^{-1}))^{-1}$ という対合を用い、ここで $\Phi$ はリコイル組成から降下組成への写像である。これにより、忘れられた同値類を既知の組合せ論的対象と関連付ける。
• シューツェンベルガーの対合と $\mathbf{FQSym}$ のホップ代数構造を用いて、忘れられた同値類が $\mathrm{QSym}$ への可換射影のもとでどのように写されるかを計算する。
• $V$-置換または $\Lambda$-置換のリコイル組成を用いて、忘れられた同値類におけるゲゼルのクasi対称関数の和が、係数が 0 または 1 のリボンシューファー関数の和に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称群 $S_n$ には、忘れられた同値類がいくつ存在するか？
• RQ2 忘れられた同値類を特徴づける組合せ論的不変量は何か——特に、忘れられた関係のもとで保存される性質は何か？
• RQ3 忘れられた同値類におけるゲゼルのクasi対称関数の和は、対称関数の代数とどのように関係するか？
• RQ4 パターンを避ける置換や標準的代表元を用いて、忘れられた同値類の構造を記述できるか？
• RQ5 忘れられた同値類におけるクasi対称関数の和は、重複のないリボンシューファー関数の和となるか？

主な発見

• 対称群 $S_n$ には正確に $n^2 - 3n + 4$ 個の忘れられた同値類が存在する。
• 2つの置換が同じ忘れられた同値類に属するための必要十分条件は、逆転数が同一であり、$1$ と $n$ の相対的順序が同一であることである。
• 各忘れられた同値類には、辞書式に最小で、パターン 132 と 231 を避ける一意な標準的代表元が存在する。
• 忘れられた同値類におけるゲゼルのクasi対称関数の和は、リボンシューファー関数の 0-1 和、すなわち重複のない和である。
• ホップ代数 $\mathbf{FQSym}$ における忘れられた同値類の評価は、同値類に属する $V$-置換のリコイル組成によって添字づけられるリボンシューファー関数の和に射影される。
• この結果は、ザブロツキが提起した、これらの和のクasi対称関数に関する構造に関する予想を裏付けている。