[論文レビュー] Equivalence Classes of Permutations under Various Relations Generated by Constrained Transpositions

Steven J. Linton, James Propp+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、制約付き転置関係における置換の同値類を研究するフレームワークを導入し、ロビンソン＝シュナイダース対応に関するクヌースの研究を一般化する。置換の3要素パターンの置換可能性（例：123 ↔ 321）によって同値関係を定義することで、数え上げ的結果が得られ、カタラン数、フィボナッチ数、トリボナッチ数との関係が明らかになり、特定の同値類から生じる新しい整数列が同定された。

ABSTRACT

We consider a large family of equivalence relations on permutations in Sn that generalise those discovered by Knuth in his study of the Robinson-Schensted correspondence. In our most general setting, two permutations are equivalent if one can be obtained from the other by a sequence of pattern-replacing moves of prescribed form; however, we limit our focus to patterns where two elements are transposed, subject to the constraint that a third element of a suitable type be in a suitable position. For various instances of the problem, we compute the number of equivalence classes, determine how many n-permutations are equivalent to the identity permutation, or characterise this equivalence class. Although our results feature familiar integer sequences (e.g., Catalan, Fibonacci, and Tribonacci numbers) and special classes of permutations (layered, connected, and 123-avoiding), some of the sequences that arise appear to be new.

研究の動機と目的

• ロビンソン＝シュナイダース対応の文脈において、クヌースの同値関係を、より広範なパターン置換転置のクラスに一般化すること。
• 3要素部分列の制約付き転置によって生成される $ S_n $ 上の同値関係を体系的に分析すること。
• 位置または値の隣接性によって制限される転置が適用される場合を含め、さまざまなパターン置換ルールにおける同値類の数を特定すること。
• 特に恒等置換を含む同値類のサイズと構造を特徴づけること。
• これらの同値類と、カタラン数、フィボナッチ数、トリボナッチ数、および新しい数列といったよく知られた整数列との関係を同定・探求すること。

提案手法

• 置換群 $ S_n $ 上の同値関係を、$ S_3 $ の集合分割によって定義し、同じブロックに属する要素は、同じ相対順序を持つ任意の部分列で入れ替えることができる。
• 一般（制約なし）、隣接する位置（$ P^{f ext{vrule}} $）、および位置と値の両方が隣接する（$ P^{lacksquare} $）の3種類の同値型を導入し、後者は逆写像に対して対称的である。
• 置換の直接和分解における1-、2-、3-サイクルを表すブロック構造（例：$ \rho_1, \rho_2, \rho_3 $）に基づく再帰的分解を用いる。
• ブロックの付加に基づく再帰的関係（例：フィボナッチ的成長のための $ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} $）から、恒等置換と同値な置換の数をモデル化する。
• 許容されるブロックサイズの列を表す正規表現表記（例：$ [12^*]^* $, $ \{13\}^* $）を用いて、同値類の構造を特徴づける。
• 任意の恒等置換でない置換が有効な移動により恒等置換に還元可能であるという事実を用いて、初期条件と再帰的関係を数学的帰納法で検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ S_3 $ の分割によって定義される異なる制約付き転置ルールのもとで、同値類はいくつ生じるか。また、それらの数は既知の整数列とどのように関係するか。
• RQ2 さまざまなパターン置換ルールにおける恒等置換と同値な置換の同値類のサイズは何か。再帰的関係によってどのように特徴づけられるか。
• RQ3 どの置換が $ 123 \leftrightarrow 321 $ のようなルールのもとで恒等置換と同値になるか。それらはどのような構造的性質を共有するか。
• RQ4 転置が隣接する位置、隣接する値、または両方に制限される場合、同値類はどのように異なるか。
• RQ5 これらの同値関係によって新しい整数列が生成されるか。もしそうであれば、それらはどのような組合せ的構造を数え上げるか。

主な発見

• 関係 $ \{123, 321\} $ に対して、恒等置換と同値な置換の数はフィボナッチ再帰式に従う：$ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} $、初期値 $ a_1 = a_2 = 1 $。
• ルール $ \{123, 132, 321\} $ に対して、恒等置換と同値な置換の数はトリボナッチ再帰式 $ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} $ を満たし、数列 A000073 を与える。
• 関係 $ \{123, 321\} $ で位置と値が隣接制約を受ける場合、恒等置換と同値な置換の数は $ a_n = a_{n-2} + U_n $ で与えられ、ここで $ U_n $ は $ P_5 $ 再帰式に従う。
• 制約なしの $ \{123, 321\} $ における恒等置換の同値類は、パターン $ 2^* $（つまり、すべて2のブロックを含まない）を回避する置換から成り、$ n $ が偶数のとき、フィボナッチ数から1を引いた値に等しい。
• 著者らは、特定の制約付き転置ルールにおける同値類から、以前に OEIS に登録されていなかった新しい整数列を同定した。
• 同値類の構造は、ブロックタイプ（例：$ \{13\}^* $）に関する正規表現によって完全に特徴づけられ、正確な数え上げと再帰的関係の導出が可能になった。