[論文レビュー] The formulation of the Chern-Simons action for general compact Lie groups using Deligne cohomology

Kiyonori Gomi|ArXiv.org|Apr 23, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Deligneコhomロジーを用いて任意のコンpakトなLie群に対するChern-Simons作用を定式化し、境界を持つ3次元多様体に対しても一貫した定義が可能であることを示している。作用は、クラスファイイング空間 $BG$ への写像の空間上の $\tau$-値関数として構成され、多様体に境界がある場合にはその作用がヒルベルト線束のセクションとなる。これにより、貼り合わせや位相的不変性と整合性を保つことができる。

ABSTRACT

We formulate the Chern-Simons action for any compact Lie group using Deligne cohomology. This action is defined as a certain function on the space of smooth maps from the underlying 3-manifold to the classifying space for principal bundles. If the 3-manifold is closed, the action is a function with values in complex numbers. If the 3-manifold is not closed, then the action is a section of a Hermitian line bundle associated with the Riemann surface which appears as the boundary.

研究の動機と目的

• 単連結でない群に限らない、任意のコンパクトなLie群へのChern-Simons作用の一般化。
• 従来の微分特性関数の手法が失敗する境界を持つ3次元多様体上での作用の定義問題の解決。
• 貼り合わせや方向反転などの位相的演算を尊重する、幾何学的に一貫した作用の構成（Deligneコホモロジーを用いて）。
• 境界をもつリーマン面から $BG$ への写像の空間上に自然に定義されるヒルベルト線束 $\mathcal{L}_\Sigma$ を定義し、そのセクションが作用を記述すること。
• 作用が古典場の理論の基本的公理（貼り合わせ、方向、加法性）を満たすことを確立すること。

提案手法

• 特徴的4形式 $\frac{1}{8\pi^2} \operatorname{Tr}(F_u \wedge F_u)$ を用いて、普遍Chern-Simons類をDeligneコホモロジー類 $c_u \in H^3(BG, \mathcal{F}^3)$ として表現する。
• $c_u$ のČechコycle代表を用いて、$\mathrm{Map}(M, BG)$ の開集合上での局所関数 $\mathcal{A}_{M;A}$ を定義する。
• Čechコycleから得られる移動関数を用いて、$\mathrm{Map}(\Sigma, BG)$ 上にヒルベルト線束 $\mathcal{L}_\Sigma$ を構成する。
• 多様体 $M$ に境界がある場合、全体のChern-Simons作用 $\mathcal{A}_M$ を、境界の写像 $r: \partial M \to BG$ に沿った線束の引き戻し $r^*\mathcal{L}_{\partial M}$ のセクションとして定義する。
• 埋め込まれた曲面に沿った制限および縮約に関して、作用が貼り合わせの下で正しく変化することを確認することで、一貫性を保証する。
• 局所項の三角形分割に基づく明示的計算を用いて、作用が線束の接続と平行移動に関して整合することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のコンパクトなLie群に対して、特に境界を持つ3次元多様体上でも一貫して定義可能なChern-Simons作用はどのように構成できるか？
• RQ2 単連結でない場合に、$\mathbb{C}^*$-値作用に代わる幾何的構造は何か？
• RQ3 貼り合わせ、方向反転、直和などの位相的演算に対して作用はどのように振る舞うか？
• RQ4 Chern-Simons作用を線束のセクションとして解釈できるか？ もしそうなら、その線束の幾何的意味は何か？
• RQ5 作用は線束の接続と整合するか？ また、期待される平行移動を再現するか？

主な発見

• 閉多様体 $M$ の場合、Chern-Simons作用は $\mathrm{Map}(M, BG)$ 上の $\mathbb{T}$-値関数として定義され、境界を持つ場合、$r^*\mathcal{L}_{\partial M}$ のセクションとして定義される。
• $\mathrm{Map}(\Sigma, BG)$ 上のChern-Simons線束 $\mathcal{L}_\Sigma$ は適切に定義されており、その同型類はDeligneコホモロジー類 $c_u$ のみに依存する。
• 作用は貼り合わせ公理を満たす：曲面 $\Sigma$ に沿った切断 $M_{\text{cut}}$ に対して $\operatorname{Tr}_\xi(\mathcal{A}_{M_{\text{cut}}}) = \mathcal{A}_M$ が成り立つ。
• 作用は方向反転と整合する：$\mathcal{A}_{-M}(\gamma) = \overline{\mathcal{A}_M(\gamma)}$ であり、$\mathcal{L}_{-\Sigma} \cong \mathcal{L}_\Sigma^*$ が成り立つ。
• 作用は直和に関して加法的である：$\mathcal{A}_{M_1 \sqcup M_2} = \mathcal{A}_{M_1} \otimes \mathcal{A}_{M_2}$ であり、線束に対してもテンソル積構造が対応する。
• 作用は $\mathrm{Map}(\Sigma, BG)$ 内の経路に沿った平行移動を再現する：$\mathcal{A}^{-1}_{\Sigma \times I}(\Gamma)$ は接続 $\nabla$ 沿いの平行移動に一致する。