[論文レビュー] The Fractional Langevin Equation: Brownian Motion Revisited

Francesco Mainardi, Paolo Pironi|ArXiv.org|Jun 5, 2008

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 3被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、分数階微積分を用いてバセット型の記憶力を持つ力を組み込んだ分数量子的ランジュバン方程式を導入することで、ブラウン運動を再考する。これにより、長時間スケールにおいて非重い粒子に対して、通常の拡散に移行する前の段階で異常拡散（α > 1）のスーパーディフュージョン的挙動を示す。このアプローチでは、遅れ摩擦力を記述するためリーマン＝リウヴィルの分数量微分を用い、速度およびランダム力相関関数、平均二乗変位の閉形式での解析的解が得られる。

ABSTRACT

We have revisited the Brownian motion on the basis of the fractional Langevin equation which turns out to be a particular case of the generalized Langevin equation introduced by Kubo on 1966. The importance of our approach is to model the Brownian motion more realistically than the usual one based on the classical Langevin equation, in that it takes into account also the retarding effects due to hydrodynamic backflow, i.e. the added mass and the Basset memory drag. On the basis of the two fluctuation-dissipation theorems and of the techniques of the Fractional Calculus we have provided the analytical expressions of the correlation functions (both for the random force and the particle velocity) and of the mean squared particle displacement. The random force has been shown to be represented by a superposition of the usual white noise with a "fractional" noise. The velocity correlation function is no longer expressed by a simple exponential but exhibits a slower decay, proportional to $t^{-3/2}$ as $t o \infty$, which indeed is more realistic. Finally, the mean squared displacement has been shown to maintain, for sufficiently long times, the linear behaviour which is typical of normal diffusion, with the same diffusion coefficient of the classical case. However, the Basset history force induces a retarding effect in the establishing of the linear behaviour, which in some cases could appear as a manifestation of anomalous diffusion to be correctly interpreted in experimental measurements.

研究の動機と目的

• 流体の慣性および遅れ効果を考慮するための流体力学的記憶力（バセット＝ブジネスク力）を組み込んだ、古典的ランジュバン方程式の拡張を目的とする。
• 特に、非マークフ過程的な摩擦力の記述に、1/2階のリーマン＝リウヴィル分数量微分を用いることで、分数量微積分を用いた力学的ダイナミクスのモデル化を目的とする。
• 一般化された枠組みにおいて、速度自己相関関数、ランダム力相関関数、および平均二乗変位（MSD）の解析的表現を導出することを目的とする。
• 異常拡散（具体的にはα > 1のスーパーディフュージョン）が発現する条件を特定し、通常の拡散に移行するまでの時間領域における挙動を解明することを目的とする。
• 粒子質量および流体の性質が、長時間極限における異常拡散から通常拡散への遷移をどのように決定するかを明確化することを目的とする。

提案手法

• 古典的ランジュバン方程式において、マークフ過程的摩擦項を、バセット＝ブジネスク記憶力に対応する1/2階の分数量微分に置き換える。
• バセット力は、1/2階のリーマン＝リウヴィル分数量積分を用いて再定式化され、解析的解法に適したラプラス変換技術が利用可能になる。
• 速度相関関数は、ラプラス領域で分数量ランジュバン方程式を解き、ガンマ関数および一般化関数（ゲルファンド＝シロフ分布）の性質を用いて変換を逆算することで導出される。
• ランダム力相関関数は、フラクチュアーション・ディスシペーション定理を用いて得られ、速度相関関数および定常的なマクスウェル分布と整合性を持つ。
• 平均二乗変位（MSD）は、ウィENER＝ヒンチンの定理を用いて速度相関関数から計算され、ラプラス逆変換により実行され、長時間極限で指数α = 3/2のべき乗依存性を示す。
• 分数量微分の定式化が、記憶効果が無視できる極限において古典的な指数的減衰の速度相関を回復することを示すことにより、解の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流体の慣性および遅れ効果を考慮するバセット＝ブジネスク力が、分数量微積分の枠組み内で一貫してモデル化可能か？
• RQ2 分数量階の摩擦力が存在する状況下で、速度自己相関関数の解析的形はどのようなものか？
• RQ3 分数量微分による記憶効果の組み込みが、異常拡散を引き起こすか。もしそうであるならば、平均二乗変位の指数αは何か？
• RQ4 粒子質量、流体の粘性係数などの条件下で、スーパーディフュージョン（α > 1）が通常拡散への遷移の前段階として発現する条件は何か？
• RQ5 分数量ランジュバン枠組みにおいて、ランダム力相関関数およびフラクチュアーション・ディスシペーション定理はどのように変化するか？

主な発見

• 長時間における速度自己相関関数は、べき乗則 ∼ t^(-3/2) に従って減衰し、記憶効果に起因する非指数的緩和を示す。
• 平均二乗変位は、中〜長時間スケールにおいて非重い粒子に対して、指数α = 3/2（すなわち ⟨x²(t)⟩ ∼ t^{3/2}）のスーパーディフュージョン的挙動を示す。
• ランダム力相関関数は、分数量的状況下でのフラクチュアーション・ディスシペーション定理と整合的に、t^(-3/2)に比例することが判明した。
• 記憶力に1/2階の微分を用いる分数量ランジュバン方程式は、ラプラス領域における速度の閉形式解を導出し、ガンマ関数の恒等式を用いて解析的に逆変換可能である。
• バセット力は、明確に1/2階のリーマン＝リウヴィル分数量微分として表現可能であり、これによりラプラス変換技術および一般化関数論の応用が可能になる。
• 十分に軽い粒子（χ ≪ 1）では、非常に長い時間にわたって通常拡散（α = 1）に漸近的に近づくまでの間、一時的な異常スーパーディフュージョンの領域が観測される。