[論文レビュー] The fractional Schrödinger equation and the infinite potential well - numerical results using the Riesz derivative

Richard Herrmann|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Riesz微分を用いて無限ポテンシャル井戸内の分数級シュレーディンガー方程式を調査し、三角関数が正確な固有関数ではないが、大きな量子数およびα ≈ 2の場合に良好な近似を与えることを示した。エネルギー準位の数値的に検証された解析的近似を導出し、固有関数がαが減少するにつれて井戸の壁に向かってシフトする様子を明らかにした。これは分数級量子力学における非局所的効果を示している。

ABSTRACT

Based on the Riesz definition of the fractional derivative the fractional Schrödinger equation with an infinite well potential is investigated. First it is shown analytically, that the solutions of the free fractional Schrödinger equation are not eigenfunctions, but good approximations for large k and in the vicinity of α=2. The first lowest eigenfunctions are then calculated numerically and an approximate analytic formula for the level spectrum is derived.

研究の動機と目的

• 分数級シュレーディンガー方程式にRiesz微分の定義を適用し、無限ポテンシャル井戸内での解析を実施すること。
• 古典的α=2極限で成り立つ三角関数が、分数級の場合にも有効な固有関数として成立するかを検証すること。
• 分数級領域におけるエネルギー準位のスペクトルを、数値的に高精度な近似を導出すること。
• Riesz微分の非局所的性質が、有界領域内での固有関数の形状と局在化に与える影響を調査すること。
• 解析的近似と数値的解を比較し、大きなkおよび整数に近いαにおける有効性を評価すること。

提案手法

• Riesz微分は、全実数直線上の積分を用いて定義され、特徴的な核関数w(ξ) = ξ^(-α-1)を有する。
• Riesz微分を、|x| ≤ q に制限された区分的関数として定義された波動関数に適用する。
• 波動関数および分数級微分のテイラー級数展開を、N=20までの高次まで用いて数値的解法を実施する。
• 項別係数一致から得られる非線形方程式系を解き、エネルギー準位および係数を決定する。
• x=0における分数級微分の評価を基に、超幾何関数を用いてエネルギー準位の近似解析的公式を導出する。
• 数値的固有関数およびエネルギー準位を古典的三角関数解と比較し、導出された近似との整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Riesz微分を用いた無限ポテンシャル井戸内の分数級シュレーディンガー方程式において、三角関数は正確な固有関数であるか？
• RQ2 大きなkおよびα ≈ 2の場合に、三角関数が固有関数およびエネルギー準位の近似としてどれほど正確であるか？
• RQ3 分数級の指数αが2未満に減少する際、固有関数の挙動はいかなるものか？
• RQ4 試行関数に対するRiesz微分の作用から、エネルギー準位の閉形式解析的近似を導出できるか？
• RQ5 Riesz微分に起因する非局所的効果は、標準的な無限井戸の量子力学的像にどのような変化をもたらすか？

主な発見

• Riesz微分を用いた無限ポテンシャル井戸内の分数級シュレーディンガー方程式において、三角関数は正確な固有関数ではないが、古典的α=2極限ではそうである。
• 大きな量子数kおよびα ≈ 2のとき、三角関数は次第に良好な近似を与えるようになり、ずれは無視できるほど小さくなる。
• 導出された近似エネルギー準位スペクトル式（式2.38）は、超幾何関数₁F₂を含み、大きなkおよびα ≈ 2の範囲でエネルギー準位を正確に予測する。
• 数値的解法により、αが減少するにつれて、固有関数が井戸の壁に向かって局在化する傾向を示した。これは古典的対称形とは異なる。
• テイラー展開の項数N=20を用いた数値的手法により、基底状態エネルギーの精度が約0.25%に達した。
• Riesz微分の非局所的性質により、標準的な局所的近似（ボックス正規化やWKB近似）は成立しないが、近古典的領域では依然として有用な近似を提供する。