[論文レビュー] The fundamental group of the complement of the singular locus of Lauricella's $F_C$

Yoshiaki Gotō, Jyoichi Kaneko|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ヴァン・カンペン＝ザリスキの定理とライデマイスタ－シュライエル法を用いて、3変数のラウリセラ超幾何関数 $F_C$ の特異的分岐の補集合の基本群の完全な表現を提示する。$n=3$ の場合に、既知の (R_ij) および (R_k) の関係に加え、3つの新しい関係 (R_ij)、(R_k)、(R_IJ) を同定し、これらが基本群を完全に生成することを示している。さらに、$2^3$-被覆空間に拡張することで、11生成子、27関係からなる明示的な基本群の表現が得られる。

ABSTRACT

We study the fundamental group of the complement of the singular locus of Lauricella's hypergeometric function $F_C$ of $n$ variables. The singular locus consists of $n$ hyperplanes and a hypersurface of degree $2^{n-1}$ in the complex $n$-space. We derive some relations that holds for general $n\geq 3$. We give an explicit presentation of the fundamental groupin the three-dimensional case. We also consider a presentation of the fundamental group of $2^3$-covering of this space. In the version 2, we omit some of the calculations. For all the calculations, refer to the version 1 (arXiv:1710.09594v1) of this article.

研究の動機と目的

• 3変数のラウリセラの $F_C$ の特異的分岐の補集合の基本群 $\pi_1(X^{(3)})$ の定義関係の完全な集合を同定すること。
• この表現を $2^3$-被覆空間 $\tilde{X}^{(3)}$ に拡張し、それが超平面配置の補集合となるようにすること。
• 既知の (R_ij) および (R_k) に加え、$n \geq 3$、特に3次元の場合に群構造を支配する新たな関係—特に (R_IJ) —を同定・検証すること。
• 平面切断と直線の線束によるモノドロミー関係の体系的計算を行い、最小の生成子および関係の集合に削減すること。

提案手法

• 特異的超曲面回りのループからのモノドロミー関係を解析することで、空間を開集合に分解し、ヴァン・カンペン＝ザリスキの定理を用いて $\pi_1(X^{(3)})$ を計算する。
• 座標超平面および特異的超曲面 $S^{(3)}$ の回りの基本ループ $\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ を定義し、明示的な経路構成を行う。
• 互いに素な添字集合 $I, J$ に対して、$\gamma_0$ の共役を $\gamma_i$ の積で表す新しい関係クラス (R_IJ) を導入し、$p+q \leq n-1$ を満たすものとする。
• ライデマイスタ－シュライエル法を用いて、特異的超曲面を超平面配置に分解する $2^3$-被覆空間 $\tilde{X}^{(3)}$ の基本群を計算する。
• $\tilde{X}^{(3)}$ の被覆空間内のループに対応する11生成子 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_0, \lambda_0^{(i)}, \lambda_0^{(ij)}, \lambda_0^{(123)}$ を同定する。
• 生成子間の可換性（$\lambda_i$ 間、$\lambda_0^{(i)}$ 間、$\lambda_0^{(ij)}$ 間）、および $\lambda_0^{(ij)}$ と $\lambda_i$ の共役との間の混合可換性、さらに $\lambda_0^{(123)}$ を含む関係を含む、合計27の定義関係を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 3$ の場合に、既知の (R_ij) および (R_k) に加え、基本群 $\pi_1(X^{(n)})$ を支配する追加の関係は何か？
• RQ2 $\pi_1(X^{(3)})$ は、(R_ij)、(R_k)、および新しい (R_IJ) 関係のみで完全に提示可能か？
• RQ3 $2^3$-被覆空間 $\tilde{X}^{(3)}$ の基本群は、元の群 $\pi_1(X^{(3)})$ とどのように関係しているか？
• RQ4 $\tilde{X}^{(3)}$ の基本群の構造は何か？ 生成子と関係を明示的に提示できるか？

主な発見

• 基本群 $\pi_1(X^{(3)})$ は、生成子 $\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ および関係 (R_ij)、(R_k)、(R_IJ) で完全に提示されており、それ以上の関係は不要である。
• 新しい関係 (R_IJ) は、$\{1,2,3\}$ の互いに素な添字集合 $I, J$ に対して、$|I|, |J| \geq 1$ かつ $|I| + |J| \leq 2$ を満たすすべての組に対して成り立ち、$n=3$ の場合の完全な提示に不可欠である。
• $2^3$-被覆空間 $\tilde{X}^{(3)}$ は超平面配置の補集合であり、その基本群 $\pi_1(\tilde{X}^{(3)})$ は11生成子と27定義関係を持つ表現を持つ。
• $\pi_1(\tilde{X}^{(3)})$ の27関係には、$\lambda_i$ 間、$\lambda_0^{(i)}$ 間、$\lambda_0^{(ij)}$ 間の可換性に加え、共役および三重交差を含む混合可換性が含まれる。
• 関係式 (5.58) から (5.60) は、被覆空間内の超平面の幾何的交差から導かれる。これらは $X^{(3)}$ の平面切断における直線に対応し、一貫性の確保に不可欠である。
• 著者らは、すべてのモノドロミー関係が提示された集合に還元されることを検証し、$\tilde{X}^{(3)}$ の群提示の完全性を確認した。