[論文レビュー] The fundamental group, rational connectedness and the positivity of Kaehler manifolds

Lei Ni|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\r_k > 0$ を満たすコンact Kähler多様体が、Fano多様体に関する既存結果を一般化して、射影的かつ有理的連結的であることを確立する。$\r^\flat > 0$ が単連結性を意味することを、ウィットニーのコマスに基づく可視化法を用いて証明し、同定された新しい曲率条件（$\r_k$、クロス二次曲率）がコhomologyの消滅と変形剛性を導くことを示す。この条件は、$b_2=1$ を満たすKähler C-空間において検証された。結果は、同調的Kähler多様体の曲率的特徴付けに関する一般化されたハーツホーン予想を支持する。

ABSTRACT

First we confirm a conjecture asserting that any compact Kähler manifold $N$ with $\Ric^\perp>0$ must be simply-connected by applying a new viscosity consideration to Whitney's comass of $(p, 0)$-forms. Secondly we prove the projectivity and the rational connectedness of a Kähler manifold of complex dimension $n$ under the condition $\Ric_k>0$ (for some $k\in \{1, \cdots, n\}$, with $\Ric_n$ being the Ricci curvature), generalizing a well-known result of Campana, and independently of Kollár-Miyaoka-Mori, for the Fano manifolds. The proof utilizes both the above comass consideration and a second variation consideration of \cite{Ni-Zheng2}. Thirdly, motivated by $\Ric^\perp$ and the classical work of Calabi-Vesentini \cite{CV}, we propose two new curvature notions. The cohomology vanishing $H^q(N, T'N)=\{0\}$ for any $1\le q\le n$ and a deformation rigidity result are obtained under these new curvature conditions. In particular they are verified for all classical Kähler C-spaces with $b_2=1$. The new conditions provide viable candidates for a curvature characterization of homogenous Kähler manifolds related to a generalized Hartshone conjecture.

研究の動機と目的

• コンパクトKähler多様体が $\r^\flat > 0$ を満たすならば単連結であるという予想を確認すること。
• Fano多様体に関するCampanaおよびKollár-Miyaoka-Moriの結果を、$1 \leq k \leq n$ に対して $\r_k > 0$ を満たすより広い多様体のクラスに一般化すること。
• Calabi-Vesentiniおよびウィットニーのコマスにインspiredされた、$\r^\flat$ とクロス二次曲率という2つの新しい曲率概念を導入・研究し、同調的Kähler多様体を特徴付けること。
• これらの新しい曲率条件の下で、$1 \leq q \leq n$ に対して $H^q(N, T'N) = \{0\}$ となるコhomologyの消滅および変形剛性を確立すること。
• 古典的Kähler C-空間で $b_2 = 1$ を満たす場合に、新しい曲率条件が成り立つことを検証し、一般化されたハーツホーン予想を支持すること。

提案手法

• $(p,0)$-形式のウィットニーのコマスに可視化法を適用し、$\r^\flat > 0$ を解析することで単連結性を証明する。
• コマスノルムを用いて射影性問題を局所化し、GAGAの定理とKodairaの射影性基準（積分的Kähler形式を用いて）を活用する。
• Ni-Zheng（2017）の第二変分推定を用いて旗多様体におけるファイバーごとの幾何を制御し、有理的連結性の証明を可能にする。
• クロス二次曲率 $QB_k$ を導入し、Kodaira-Bochnerの公式と一意的続拡張を用いて、ランク $\leq k$ の調和$(1,1)$-形式について $\nabla \theta = 0$ が $QB_k > 0$ ならば成り立つことを証明する。
• 空間 $\mathcal{H}^{1,1}_{s,k}(N)$ 内の調和$(1,1)$-形式を解析し、$QB_k > 0$ ならばこのような形式が消えることを示し、$QB_k > 0$ の下で $b_2 = 1$ が成立することを示す。
• Hodge分解とKähler恒等式を用いて、ラインバンドルの第一チャーン類がヘルミート対称な調和形式に対応することを示し、位相と曲率を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトKähler多様体が $\r^\flat > 0$ を満たすならば、予想通り単連結であるか？
• RQ2 $\r_k > 0$ が $k < n$ の場合に、コンパクトKähler多様体の射影性および有理的連結性を、完全なリッチ正定性よりも弱い条件下で確立できるか？
• RQ3 同調的Kähler多様体を特徴付けるために、どのような新しい曲率条件が有効か、特に一般化されたハーツホーン予想と関連して？
• RQ4 クロス二次曲率 $QB_k$ の正定性は、ランク $\leq k$ の調和$(1,1)$-形式の消滅を意味するか？その結果、$b_2 = 1$ などの位相的制約が得られるか？
• RQ5 新しい曲率正定性条件から、$1 \leq q \leq n$ に対して $H^q(N, T'N) = \{0\}$ となるコhomologyの消滅を導けるか？

主な発見

• 予想としての $\r^\flat > 0$ が単連結性を意味することを、$(p,0)$-形式のウィットニーのコマスに可視化法を用いて確認した。
• 任意のコンパクトKähler多様体が、ある $k \in \{1,\dots,n\}$ に対して $\r_k > 0$ を満たすならば、射影的かつ有理的連結的である。ここで $\r_n = \operatorname{Ric}$ であり、$\r_1 = H$（全純的断面曲率）である。
• 新しい曲率条件 $\r^\flat > 0$ および $QB_k > 0$ の下で、すべての $1 \leq q \leq n$ に対してコホモロジー群 $H^q(N, T'N)$ が消えることが示され、強い剛性が得られる。
• $b_2 = 1$ を満たす古典的Kähler C-空間において、新しい曲率条件 $\r^\flat > 0$ および $QB_k > 0$ が成り立つことが検証され、同調的多様体を特徴付ける役割を支持する。
• $QB_k > 0$ ならば、ランク $\leq k$ の調和$(1,1)$-形式について $\nabla \theta = 0$ が成立し、このような形式は消える。その結果、$b_2 = 1$ が成立する。
• $QB_k > 0$ の下で $\mathcal{H}^{1,1}_{s,k}(N) = \{0\}$ が成り立つことから、ランク $\leq k$ の非自明な調和$(1,1)$-形式は存在せず、位相的制約が確認された。