[論文レビュー] The gap between unbounded regular operators

Kamran Sharifi|ArXiv.org|Jan 13, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト C*-加群上の有界でない正規作用素の空間におけるギャップ位相とリース位相を調査し、有界でない自己随伴作用素がギャップ位相において開かつ稠密な部分集合をなすことを示している。また、この部分集合におけるギャップ位相はノルム位相と一致することを示している。さらに、コンパクト作用素の C*-代数を係数とするヒルベルト C*-加群上の正規自己随伴フレドホルム作用素の空間は、ホモトピー類がインデックスによって分類されるため、路連結であるが、一般の C*-代数を係数とする場合にはこの性質は成り立たない。

ABSTRACT

We study and compare the gap and the Riesz topologies of the space of all unbounded regular operators on Hilbert C*-modules. We show that the space of all bounded adjointable operators on Hilbert C*-modules is an open dense subset of the space of all unbounded regular operators with respect to the gap topology. The restriction of the gap topology on the space of all bounded adjointable operators is equivalent with the topology which is generated by the usual operator norm. The space of regular selfadjoint Fredholm operators on Hilbert C*-modules over the C*-algebra of compact operators is path-connected with respect to the gap topology, however, the result may not be true for some Hilbert C*-modules.

研究の動機と目的

• ヒルベルト C*-加群上の有界でない正規作用素の空間におけるギャップ位相とリース位相を比較すること。
• ギャップ位相の下で、有界でない自己随伴作用素の空間における有界でない自己随伴作用素の位相的構造を調査すること。
• コンパクト作用素の C*-代数を係数とするヒルベルト C*-加群上の正規フレドホルム作用素の路連結成分を特徴化すること。
• 自己随伴有界でないフレドホルム作用素の路連結性が、一般の C*-代数を係数とする場合に拡張可能かどうかを特定すること。

提案手法

• 有界でない閉作用素のグラフへの射影のノルム差によって定義されるギャップ距離を用いる。
• ヒルベルト $\mathcal{K}(H)$-加群上の稠密に定義された閉作用素の空間とヒルベルト空間上のそれらの間の等長同型写像 $\psi(t) = t_e$ を介して、それらの間の等長同型を適用する。
• 正規フレドホルム作用素とそれらに対応する有界作用素のコンパクト作用素による剰余類の間の同値性を、擬似逆元を用いて確立する。
• コルデスとラバールーズの結果（ヒルベルト空間上のフレドホルム作用素の路連結性）を応用し、ヒルベルト $\mathcal{K}(H)$-加群への分類の拡張を行う。
• ホモトピー不変量としてのインデックス写像 $\text{ind}\,t = \dim_{\mathcal{K}}\ker(t) - \dim_{\mathcal{K}}\ker(t^*)$ を用いて分類を行う。
• ランス、バアジュルグ、ヴォロノヴィッチの結果（ヒルベルト C*-加群における有界でない正規作用素とその随伴の性質）を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト C*-加群上の有界でない正規作用素の空間において、ギャップ位相とリース位相はどのように比較できるか？
• RQ2 ギャップ位相の下で、有界でない自己随伴作用素の空間は、有界でない正規作用素の空間において稠密かつ開集合であるか？
• RQ3 有界でない自己随伴作用素の空間におけるギャップ位相は、通常の作用素ノルムによって誘導される位相と一致するか？
• RQ4 ヒルベルト $\mathcal{K}(H)$-加群上の有界でない正規自己随伴フレドホルム作用素が、同じインデックスを持つ場合に限りホモトープであるか？
• RQ5 自己随伴有界でないフレドホルム作用素の路連結性は、任意の C*-代数を係数とするヒルベルト C*-加群に対しても成り立つか？

主な発見

• ギャップ位相の下で、有界でない自己随伴作用素の空間は、有界でない正規作用素の空間の開かつ稠密な部分集合をなす。
• 有界でない自己随伴作用素の空間へのギャップ位相の制限は、通常の作用素ノルムによって誘導される位相と同値である。
• ヒルベルト $\mathcal{K}(H)$-加群上の稠密に定義された閉作用素の空間と、ヒルベルト空間上のそれらの間には、ギャップ距離を保存する等長同型写像が存在する。
• ヒルベルト $\mathcal{K}(H)$-加群上の正規自己随伴フレドホルム作用素の空間は、ギャップ位相の下で路連結である。
• ヒルベルト $\mathcal{K}(H)$-加群上の有界でない正規フレドホルム作用素が、同じインデックスを持つ場合に限りホモトープである。
• 自己随伴有界でないフレドホルム作用素の路連結性は、すべての C*-代数を係数とする場合に成り立たない。ジョアキムの定理を用いた反例によって示されている。