[論文レビュー] The genealogy of nearly critical branching processes in varying environment

Florin Boenkost, Félix Foutel‐Rodier+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2022

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、変動環境下のほぼ臨界的である分岐過程の、生存を条件としたスケーリングされたサイズについて、Yaglom極限定理を確立し、系統的構造のGromov–Hausdorff–Prohorov位相における収束を証明する。このアプローチでは、脊椎的分解と第二モーメント条件下での新規なmany-to-few公式を用い、集団サイズ、最近共通祖先までの時間、および縮約された木といった主要な系統的量の収束を可能にする。

ABSTRACT

Building on the spinal decomposition technique in Foutel-Rodier and Schertzer (2022) we prove a Yaglom limit law for the rescaled size of a nearly critical branching process in varying environment conditional on survival. In addition, our spinal approach allows us toprove convergence of the genealogical structure of the population at a fixed time horizon -- when the sequence of trees are envisioned as a sequence of metric spaces -- in the Gromov--Hausdorff--Prohorov (GHP) topology. We characterize the limiting metric space as a time-changed version of the Brownian coalescent point process Popovic (2004). Beyond our specific model, we derive several general results allowing one to go from spinal decompositions to convergence of random trees in the GHP topology. As a direct application, we show how this type of convergence naturally condenses the limit of several interesting genealogical quantities: the population size, the time to the most-recent common ancestor, the reduced tree, and the tree generated by $k$ uniformly sampled individuals. As in a recent article by the authors (Foutel-Rodier and Schertzer 2022), we hope that our specific example illustrates a general methodology that could be applied to more complex branching processes.

研究の動機と目的

• 変動環境下のほぼ臨界的分岐過程のスケーリングされた集団サイズについて、長期的生存を条件としたYaglom型極限定理を確立すること。
• 集図的構造（ランダムな距離測度空間として見た場合）がGromov–Hausdorff–Prohorov位相で収束することを証明すること。
• 臨界に近い分岐過程におけるランダム距離測度空間の分析のための一般的手法を開発すること、特に脊椎的分解とモーメント法を用いて。
• 集団サイズ、最近共通祖先までの時間、縮約された木、k-サンプル木などの複数の系統的量の収束を、同一の位相的枠組みで統一すること。
• 第二モーメント条件下での脊椎的分解法の頑健性を示し、従来の全モーメントの存在を仮定する枠組みを超えて拡張すること。

提案手法

• 脊椎的分解を用いて確率測度を再重み付けし、k個の均等に抽出された個体の同時分布を捉えるkスパイン木を通じて、系統的構造の分析を可能にする。
• many-to-few公式を適用し、木のk階モーメントを測度変更下でのkスパイン木の分布に還元する。
• 切断法を用いて第二モーメント条件下で作業し、すべてのモーメントが存在することを仮定する必要を回避する。
• Gromov–Hausdorff–Prohorov収束を確認するため、モーメント条件を満たし、Gromov弱位相における質量および距離関数の連続性を用いる。
• 制限された距離空間を、時間非一様な分散を持つ確率的環境から導かれる時間変化型ブラウン運動的共通祖先プロセスの時間変化版として同定する。
• 縮約過程とk個の個体の系統的構造の収束を用いて、複数の系統的統計量の同時収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変動環境下のほぼ臨界的分岐過程のスケーリングされた集団サイズについて、生存を条件としたYaglom極限定理が成立するか？
• RQ2 このような過程の系統的構造は、集団サイズが増大する際、Gromov–Hausdorff–Prohorov位相で収束するか？
• RQ3 脊椎的分解法は、全モーメントの仮定ではなく第二モーメント条件下でも適用可能に拡張できるか？
• RQ4 集団が長い間生存することを条件とした場合、系統の制限構造は何か？
• RQ5 GHP位相における単一の収束結果から、最近共通祖先までの時間や縮約木といった複数の系統的量の収束を導出できるか？

主な発見

• 変動環境下のほぼ臨界的分岐過程のスケーリングされた集団サイズは、Yaglom極限において指数分布に分布収束し、その平均は時間にわたる環境の分散の積分で決定される。
• 系統的構造はGromov–Hausdorff–Prohorov位相で、時間変化型ブラウン運動的共通祖先点過程の時間変化版に収束する。この構造は、連続時間共通祖先フレームワークにおける祖先系列を符号化する。
• 時刻sNにおける祖先で、時刻tNに子孫を有する個体数は、[s,t]区間における環境分散に依存する成功確率をもつ幾何分布に分布収束する。
• これらの祖先の子孫家族のサイズは、[s,t]区間における環境分散の積分に比例する平均をもつ独立同一指数分布に分布収束する。
• 系統的距離空間の収束は、最近共通祖先までの時間や縮約木といったすべての主要な系統的統計量の同時収束を示唆する。
• この手法により、GHP位相における単一の極限対象から、集団サイズ、k-サンプル木、および縮約過程といった複数の量の収束結果を同時に導出可能である。