[論文レビュー] The general form of the Euler--Poisson--Darboux equation and application of transmutation method

Elina Shishkina, С. М. Ситник|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2017

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 18被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、ハンケル変換と一般化された平行移動作用素を用いて、すべての実数値 $k$ に対して、一般化されたオイラー＝ポisson＝ダルブー方程式とベッセル作用素を統一的に表現する解法を提示している。これは、従来研究されていなかった奇数の負の値を含む。この手法により、初期値問題に対するコンパクトな積分公式が得られ、分布的解が古典的解となる条件が確立され、特定のケースに対してベッセル関数および超幾何関数を用いて明示的な解が導出されている。

ABSTRACT

In the paper we find solution representations in the compact integral form to the Cauchy problem for a general form of the Euler--Poisson--Darboux equation with Bessel operators via generalized translation and spherical mean operators for all values of the parameter $k$, including also not studying before exceptional odd negative values. We use a Hankel transform method to prove results in a unified way. Under additional conditions we prove that a distributional solution is a classical one too. A transmutation property for connected generalized spherical mean is proved and importance of applying transmutation methods for differential equations with Bessel operators is emphasized. The paper also contains a short historical introduction on differential equations with Bessel operators and a rather detailed reference list of monographs and papers on mathematical theory and applications of this class of differential equations.

研究の動機と目的

• すべての実数 $k$、特に従来研究されていなかった例外的な奇数の負の値を含む、一般化されたオイラー＝ポisson＝ダルブー方程式とベッセル作用素に対する統一的な解表現を提供すること。
• 一般化された平行移動作用素と球面平均作用素を用いて、初期値問題に対するコンパクトな積分公式を確立すること。
• 追加の正則性条件が満たされる場合、分布的解が古典的解であることを証明すること。
• 変換理論とハンケル変換技術が、ベッセル作用素を有する特異な擬リーマン型方程式を解く際にどのように有効に応用できるかを示すこと。

提案手法

• すべての $k\in\mathbb{R}$ に対して、$k = -1, -3, -5, \dots$ を含む、ハンケル変換を用いて一様に解表現を導出する。
• 一般化された平行移動作用素 $^\gamma T^{ty}$ と球面平均作用素を用いて、解をコンパクトな積分形式で表現する。
• 変換理論を用いて、一般化されたEPD方程式の解を、より単純な方程式の既知の解と関連付ける。
• ベッセル型の楕円型作用素として、作用素 $ (\triangle_\gamma)_x = \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^{\gamma_i}} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( x_i^{\gamma_i} \frac{\partial}{\partial x_i} \right) $ を用いる。
• $(1 - y^2)^{\frac{k - \gamma - 2}{2}}$ とベッセル関数 $ J_{\nu}(\cdot) $ を含む積分表現を用いて解の公式を導出する。
• ハンドブック・オブ・マセマティカル・ファンクションの公式 2.12.4.6 などの既知の積分恒等式を用いて解を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての実数 $k$、特に奇数の負の整数を含む、一般化されたオイラー＝ポisson＝ダルブー方程式の初期値問題を、一様にどのように解くことができるか？
• RQ2 一般化された平行移動作用素と球面平均作用素は、一般化されたEPD方程式のコンパクトな積分解を構成するために果たす役割は何か？
• RQ3 一般化されたEPD方程式の分布的解が古典的解となる条件は何か？
• RQ4 変換理論をどのように系統的にベッセル作用素を有する微分方程式に応用し、解表現を導出できるか？
• RQ5 特定の初期データ $ f(x) = j_{\frac{\gamma-1}{2}}(x) $ の場合に、どのような明示的な解の形が得られ、ベッセル関数および超幾何関数とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、すべての $k \in \mathbb{R}$ に対して有効であるコンパクトな積分解公式を導出しており、これは $k = -1, -3, -5, \dots$ を含むが、従来は除外されていた。
• $k > \gamma > 0$ の場合、解は $ u(x,t;k) = \frac{2\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k-\gamma}{2}\right)\Gamma\left(\frac{\gamma+1}{2}\right)} \int_0^1 (1-y^2)^{\frac{k-\gamma-2}{2}} \,^\gamma T^{ty}f(x) y^\gamma dy $ で与えられ、偶数の初期データに対して有効である。
• 初期関数 $f(x) = j_{\frac{\gamma-1}{2}}(x)$ の場合、解は $ u(x,t;k) = j_{\frac{\gamma-1}{2}}(x) j_{\frac{k-1}{2}}(t) $ に簡略化され、ベッセル関数の積構造が明確に示される。
• $k < \gamma$ の場合、解は $ t^k $ と $ t^{k+1} $ の導関数を含む再帰的変換によって表現され、${}_0F_1$ 超幾何関数の形に帰着される。
• $k = \frac{1}{3}, \gamma = \frac{3}{2}$ の場合、解 $ u(x,t;k) = {}_0F_1\left(;\frac{\gamma+1}{2}; -\frac{x^2}{4}\right) {}_0F_1\left(;\frac{k+1}{2}; -\frac{t^2}{4}\right) $ が明示的に導出され、既知の特殊関数と整合することが確認された。
• 本稿では、一般化された平行移動作用素 $ ^{k,\gamma}T^t_x $ が $ ^{k,\gamma}T^t_x j_{\frac{\gamma-1}{2}}(x) = j_{\frac{\gamma-1}{2}}(x) j_{\frac{k-1}{2}}(t) $ を満たすことを証明し、重要な変換性質を確立した。