[論文レビュー] Transmutations and Applications: a survey

С. М. Ситник|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2010

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 51被引用数 43

ひとこと要約

本調査は、微分作用素の変換理論について包括的な概説を提供し、スペクトル理論、逆問題、分数階微積分への応用に注目している。Sturm-Liouville型、Vekua–Erdélyi–Lowndes型、Sonine型、Poisson型、Buschman–Erdélyi型といったさまざまな変換型を導入し、因子分解と反復的手順を用いた合成法による変換の構成を展開する。ユニタリなボルテラ型変換の主要な結果と、特異的・変数係数を有する作用素への応用が示される。

ABSTRACT

This is an extended version of originally published survey in the book: "Advances in Modern Analysis and Mathematical Modeling". Editors: Yu.F.Korobeinik, A.G.Kusraev. Vladikavkaz: Vladikavkaz Scientific Center, of the Russian Academy of Sciences and Republic of North Ossetia--Alania, 2008. P. 226-293. (In Russian). In this survey we consider main transmutation theory topics with many applications, including author's own results. The topics covered are: transmutations for Sturm--Liouville operators, Vekua-Erdelyi-Lowndes transmutations, transmutations for general differential operators with variable coefficients, Sonine and Poisson transmutations, transmutations and fractional integrals, Buschman--Erdelyi transmutations, in the search for Volterra unitary transmutations, transmutations for singular differential operators with variable coefficients, composition method for transmutations, some applications and open problems.

研究の動機と目的

• 変数係数を有する微分方程式に対する変換作用素に関する既存知識の体系化と拡張。
• ユニタリなボルテラ型変換の構成およびその応用に関する未解決問題への対処。
• 変換作用素と分数階積分作用素との関係の解明。
• 特異的微分作用素に対する新しい変換の結果とその関数解析的性質の提示。
• 逆問題、ソリトン理論、関数空間埋め込みへの統合的フレームワークの提供。

提案手法

• 複雑な作用素 $ A $ を単純なモデル作用素 $ B $ に結びつけるための相互作用（接続）性質 $ T A = B T $ を用いる。
• 一般の微分作用素に対して、因子分解と反復的手順を用いて合成法により変換を構成する。
• 明示的な変換核の構成に、積分表現と特殊関数（例：ベッセル関数、ルジャンドル関数、超幾何関数）を用いる。
• スペクトル理論、関数解析、積分変換の技術を統合し、変換の性質を分析する。
• $ L^p $ およびソボレフ型空間における変換作用素の存在と有界性を分析する。
• 分数階微積分の結果を活用し、変換作用素とリーマン＝リウビルおよびErdélyi-Kober型積分作用素との関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数係数を有する一般の微分作用素に対して、変換作用素を体系的にどのように構成できるか。
• RQ2 特異的または滑らかでない作用素に対して、ユニタリなボルテラ型変換が存在するための条件は何か。
• RQ3 変換作用素は逆問題やスペクトル解析の解決にどのような形で役立つか。
• RQ4 変換作用素は分数階積分作用素およびルジャンドル型・ベッセル型の特殊関数とどのように関係するか。
• RQ5 合成法は、新たなクラスの変換作用素を生成する上で果たす役割は何か。

主な発見

• 合成法により、変数係数を有する微分作用素の広いクラスに対して変換作用素を構成可能である。
• Sturm-Liouville型および特異的作用素に対して、明示的な積分表現が得られ、特にベッセル型ポテンシャルを含む。
• 分数階積分作用素に対する変換が、古典的なSonine型およびPoisson型変換を一般化し、適用範囲を拡張することが示された。
• 特に $ L^2 $-に基づく関数空間において、ボルテラ型変換がユニタリとなるための条件が確立された。
• Buschman–Erdélyi型変換に関する新規結果が提示され、積分方程式の解法における役割と超幾何関数との関連が明らかにされた。
• 先行の調査におけるギャップ、特に特異的作用素の取り扱いやソリトン方程式・埋め込み定理への応用に関する不足を同定・解決した。