[論文レビュー] The generalized Hodge and Bloch conjectures are equivalent for general complete intersections

Claire Voisin|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Lefschetz標準予想を仮定することで、自明なチャウ群をもつ滑らかで射影的な多様体内の一般の完全交差に対して、一般化されたホッジ予想とブロッハ予想の同値性を確立する。また、その完全交差の消滅コホモロジーの幾何的コノイユヴェイが ≥ c であるならば、次元 ≤ c−1 のサイクルのチャウ群が自明であることを示し、ホッジ理論的コノイユヴェイと代数的サイクルの自明性を結びつける。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complex projective variety with trivial Chow groups. (By trivial, we mean that the cycle class is injective.) We show (assuming the Lefschetz standard conjecture) that if the vanishing cohomology of a general complete intersection $Y$ of ample hypersurfaces in $X$ has geometric coniveau $\geq c$, then the Chow groups of cycles of dimension $\leq c-1$ of $Y$ are trivial. The generalized Bloch conjecture for $Y$ is this statement with "geometric coniveau" replaced by "Hodge coniveau".

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的な多様体に含まれる自明なチャウ群をもつ一般の完全交差について、一般化されたホッジ予想とブロッハ予想の同値性を確立すること。
• 一般の完全交差の消滅コホモロジーにおける幾何的コノイユヴェイが ≥ c であるならば、次元 ≤ c−1 のサイクルのチャウ群が自明であることを示すこと。
• モノドロミーと特異点解消の技法を用いて、定理0.2（ホッジコノイユヴェイとチャウ群の単射性に関するもの）の結果を幾何的コノイユヴェイの設定へと拡張すること。
• 与えられたコノイユヴェイ条件の下で、低次元チャウ群の自明性から一般化されたホッジ予想が導かれるかどうかを示すこと。

提案手法

• ホッジ構造と代数的サイクルを結びつける基礎的仮定として、Lefschetz標準予想を用いる。
• モノドロミーの議論を適用し、非常に一般の完全交差の原始的コホモロジー上のホッジ構造が単純であることを示し、部分ホッジ構造は原始的コホモロジー全体でなければならないことを示す。
• Fulton-MacPhersonのコンパクト化と配置空間のブローアップを用いて、点のヒルベルトスキームにおける特異点を解消する。特にタイプ(3,1)および(2,2)の部分集合に注目する。
• variety $\widetilde{X^4_0}$ を $X^4_0$ 上で関手的に構成し、$X$ が性質 $\mathcal{P}_{2n-2}$ を満たすとき、$\widetilde{X^4_0}$ も同様に満たすことを保証する。
• Haymanの定理を適用し、特定の部分多様体に沿ったブローアップによって、有理写像 $\sigma: X(4)_0 \dashrightarrow \mathrm{Hilb}^4(X)$ を準同型に変換する。
• 任意の長さ3の部分スキームは、滑らかな表面に含まれることを根拠に、一般の場合を次元2の表面の場合に還元し、既知の結果を適用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の完全交差の消滅コホモロジーにおける幾何的コノイユヴェイが ≥ c であるならば、次元 ≤ c−1 のサイクルのチャウ群は自明であるか？
• RQ2 自明なチャウ群をもつ多様体内の一般の完全交差について、一般化されたホッジ予想とブロッハ予想は同値か？
• RQ3 モノドロミーと特異点解消の技法を用いて、一般の完全交差の一般化されたホッジ予想を、低次元チャウ群の自明性から導けるか？
• RQ4 Lefschetz標準予想は、ホッジ理論的コノイユヴェイ条件を代数的サイクルの自明性へとどのように転送可能にするか？

主な発見

• 滑らかで射影的な多様体 $X$ に含まれる一般の完全交差 $Y$ について、$X$ が自明なチャウ群をもつとき、$Y$ の消滅コホモロジーの幾何的コノイユヴェイが ≥ c であれば、$Y$ 上の次元 ≤ c−1 のサイクルのチャウ群は自明である。
• Lefschetz標準予想を仮定すれば、自明なチャウ群をもつ多様体内の一般の完全交差について、一般化されたホッジ予想とブロッハ予想は同値である。
• 配置空間のブローアップによる $\widetilde{X^4_0}$ の構成は、$X$ が性質 $\mathcal{P}_{2n-2}$ を満たすとき、$\widetilde{X^4_0}$ も同様に満たすことを保証し、コホモロジー的性質の降下を可能にする。
• 特定の部分多様体 $M$ に沿ったブローアップにより、有理写像 $\sigma: X(4)_0 \dashrightarrow \mathrm{Hilb}^4(X)$ は特異点を解消し、Haymanの定理によって準同型に変換される。
• 任意の長さ3の部分スキームが滑らかな表面に含まれることを根拠に、問題は次元2の表面の場合に還元され、既知の結果が適用可能になる。
• この結果により、一般の完全交差において、Lefschetz標準予想の下で、一般化されたホッジ予想が成り立つこととブロッハ予想が成り立つことは同値であることが示される。