[論文レビュー] The geometric measure of entanglement of pure states with nonnegative amplitudes and the spectral theory of nonnegative tensors

Shenglong Hu, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 21被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、非負の振幅をもつ純粋な量子状態における量子もつれの幾何学的測度と非負テンソルのスペクトル理論の直接的な関係を確立し、幾何学的測度が対応する対称テンソルのZ-スぺクトル半径に等しいことを示している。qubitおよびqutrit状態に対しては解析的消去法を導入し、qudit状態に対しては収束性を保証する確率的アルゴリズムを提案することで、テンソル固有値理論を用いた効率的な計算が可能になる。

ABSTRACT

The geometric measure of entanglement for a symmetric pure state with nonnegative amplitudes has attracted much attention. On the other hand, the spectral theory of nonnegative tensors (hypermatrices) has been developed rapidly. In this paper, we show how the spectral theory of nonnegative tensors can be applied to the study of the geometric measure of entanglement for a pure state with nonnegative amplitudes. Especially, an elimination method for computing the geometric measure of entanglement for symmetric pure multipartite qubit or qutrit states with nonnegative amplitudes is given. For symmetric pure multipartite qudit states with nonnegative amplitudes, a numerical algorithm with randomization is presented and proven to be convergent. We show that for the geometric measure of entanglement for pure states with nonnegative amplitudes, the nonsymmetric ones can be converted to the symmetric ones.

研究の動機と目的

• 非負の振幅をもつ量子状態における幾何的もつれ測度と非負テンソルのスペクトル理論を結びつける。
• 非負の振幅をもつ対称および非対称純粋状態における幾何的もつれ測度を計算するための解析的および数値的手法を開発する。
• このような状態の幾何的もつれ測度が、関連する非負テンソルのZ-スぺクトル半径に等しいことを証明する。
• 非負の振幅をもつ対称な多粒子qudit状態における幾何的もつれ測度を計算する収束性を保証する確率的アルゴリズムを確立する。
• 非対称な純粋状態が、計算の目的で対称状態に変換可能である程度を示す。

提案手法

• 幾何的もつれ測度を、分離状態への最小距離として定義し、これは状態の振幅テンソルの最大特異値に等しいことを示す。
• 非負の振幅をもつ対称純粋状態に対しては、幾何的もつれ測度が対応する非負対称テンソルのZ-スぺクトル半径に等しいことを確立する。
• 多項式系の解法に基づく変数消去法を提案し、対称なqubitおよびqutrit状態における幾何的もつれ測度を解析的に計算可能にする。
• 正の象限と単位球面の交わりから初期化された、シフトされた高次パワー法を用いた確率的数値アルゴリズムを開発する。
• アルゴリズムの収束確率が、最大および第二に大きな非負Z固有値間のスペクトルギャップに依存することを証明する。
• 非対称な非負振幅をもつ状態が、変換によって対称化可能であることを示し、これにより対称的手法の適用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負テンソルのスペクトル理論を用いて、非負の振幅をもつ純粋な量子状態における幾何的もつれ測度をどのように計算できるか。
• RQ2 非負テンソルのZ-スぺクトル半径と、その対応する対称量子状態の幾何的もつれ測度との正確な関係は何か。
• RQ3 非負の振幅をもつ対称な多粒子qutrit状態における幾何的もつれ測度を計算する解析的手法を導出可能か。
• RQ4 対称なqudit状態における幾何的もつれ測度を計算するための確率的数値アルゴリズムの収束を保証する条件は何か。
• RQ5 非対称な純粋状態が、もつれ測度計算の目的で対称状態にどの程度まで還元可能か。

主な発見

• 非負の振幅をもつ対称純粋状態における幾何的もつれ測度は、対応する非負対称テンソルのZ-スぺクトル半径に等しい。
• 対称な多粒子qubitおよびqutrit状態に対しては、解析的消去法が提供され、qutritの場合には新たな導出が可能になる。
• 非負の振幅をもつ対称な多粒子qudit状態に対しては、確率的数値アルゴリズムが提案され、正の確率で収束することが証明された。
• アルゴリズムの収束確率は、基礎となるテンソルの最大および第二に大きな非負Z固有値間のスペクトルギャップに依存する。
• 非対称な純粋状態が、非負の振幅をもつ場合、変換によって対称状態に変換可能であり、これにより対称計算手法の適用が可能になる。
• 非対称な非負振幅をもつ状態において、振幅テンソルの最大特異値が幾何的もつれ測度に一致する。