[論文レビュー] The geometric sieve and the density of squarefree values of invariant polynomials

Manjul Bhargava|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 45

ひとこと要約

本稿では、代数群の作用に関して不変な多変数整数係数多項式が取りうる平方自由値の密度を計算する幾何的スieve法を開発する。特に、前置型および核心的表現の判別式多項式に応用し、$S_n$-数体のうち次数 $n=3,4,5$ で判別式が平方自由であるものの密度について、正確な公式を導出する。その結果、$\zeta$ 因子と群論的不変量を用いて明示的に計算可能な正の密度が得られることを示している。

ABSTRACT

We develop a method for determining the density of squarefree values taken by certain multivariate integer polynomials that are invariants for the action of an algebraic group on a vector space. The method is shown to apply to the discriminant polynomials of various prehomogeneous and coregular representations where generic stabilizers are finite. This has applications to a number of arithmetic distribution questions, e.g., to the density of small degree number fields having squarefree discriminant, and the density of certain unramified nonabelian extensions of quadratic fields. In separate works, the method forms an important ingredient in establishing lower bounds on the average orders of Selmer groups of elliptic curves.

研究の動機と目的

• 多変数整数係数多項式が代数群作用に関して不変である場合の、その平方自由値の密度を一般に計算する手法を開発すること。
• この手法を、有限な一般安定化群をもつ前置型および核心的表現の判別式多項式に適用すること。
• $S_n$-数体のうち、次数 $n=3,4,5$ で判別式が平方自由または基本的であるものの正確な密度を同定すること。
• このような数体のうち、判別式が平方自由であるものの割合が、基本的判別式であるものの $2/3$ に丁度一致することを確立すること。
• 楕円曲線算術における平均セレマー群の次数の下界を立てる基盤を提供すること。

提案手法

• 本手法は、$\mathbb{Z}$ 上の大きな代数群による多項式の対称性と不変性を活用し、古典的手法（円法やフーリーの技法）では到達できない範囲の解析を可能にする。
• 局所的条件の分析と群作用によるグローバルな数え上げの簡略化を組み合わせることで、平方自由値の密度を制御する幾何的スieveを導入する。
• 二変数四次形式の空間から、対の三変数二次形式への写像 $\phi$ が導入され、この写像は不変多項式を保存するが、高々12対1の対応である。
• 大きな素数 $p$ に対して、集合 $W_p^{(2)}$ および $W_p^{(2)'}$ のサイズの推定値が、$|\mathcal{F}_X \cap W_p^{(2)}|$ および $|\mathcal{F}_X' \cap W_p^{(2)'}|$ の有界性に基づき得られ、$O(X^{5/6}/\log M)$ の誤差項が得られる。
• 誤差項における $\epsilon$-依存性を排除するために、先行研究の平均化技法を組み合わせ、一様な境界を保証する。
• 最終的な密度公式は、定理1.3における積公式を用いて、すべての場（非アーチメデス的および有限場）における局所密度を統合することで導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $n=3,4,5$ の $S_n$-数体のうち、判別式が平方自由であるものの自然密度は何か？
• RQ2 このような数体の密度は、基本的判別式であるものの密度と比べてどうなるか？
• RQ3 幾何的スieve法を用いて、群の対称性を持つ高次不変多項式の平方自由値の密度を計算できるか？
• RQ4 絶対判別式で順序付けたとき、$S_n$-数体のうち判別式が平方自由であるものの漸近的割合は何か？
• RQ5 この手法は、有限個または無限個の場における任意の局所条件を満たす数体の数え上げへと拡張可能か？

主な発見

• $S_n$-数体のうち、次数 $n=3,4,5$ で判別式が平方自由であるものの密度は、$\frac{r_2(S_n)}{3n!} \zeta(2)^{-1} \cdot X + o(X)$ であり、ここで $r_2(S_n)$ は $S_n$ 内の2階捩れ元の数である。
• このような数体のうち、基本的判別式であるものの密度は、$\frac{r_2(S_n)}{2n!} \zeta(2)^{-1} \cdot X + o(X)$ である。
• $n=3$ の場合、基本的判別式であるものの割合は $\zeta(2)^{-1} \zeta(3)$ であり、$n=4$ および $n=5$ の場合、$p^{-2}, p^{-3}, p^{-4}, p^{-5}$ を含むオイラー積因子によって与えられる。
• $n=3,4,5$ に対して、判別式が平方自由である $S_n$-数体の割合は、基本的判別式であるものの $2/3$ に丁度一致する。
• 本手法により、任意の許容可能な局所条件（平方自由または基本的判別式条件を含む）を満たす $S_n$-数体の密度に関する一般公式（定理1.3）が得られる。
• 得られた結果は、$\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線の平均セレマー群の次数の下界を確立するために応用され、本手法のより広範な算術的意義が裏付けられた。