[論文レビュー] The geometric stability of Voronoi diagrams in normed spaces which are not uniformly convex

Daniel Reem|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 57被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一様凸でない有限次元ノルム空間（例：ℓ₁およびℓ∞空間）におけるボロノイ図の幾何的安定性を、単位球面上の構造的条件（たかだか1つの円形部分と有限個の非退化凸部分に分解可能）とサイトに関する一般位置条件を導入することで確立する。主な結果は、サイトの小さな摂動がボロノイ細胞の形状に一様に小さな摂動を引き起こすことで、一様凸空間に限られていた連続性の結果を、より広いノルム空間のクラスへと一般化することである。

ABSTRACT

The Voronoi diagram is a geometric object which is widely used in many areas. Recently it has been shown that under mild conditions Voronoi diagrams have a certain continuity property: small perturbations of the sites yield small perturbations in the shapes of the corresponding Voronoi cells. However, this result is based on the assumption that the ambient normed space is uniformly convex. Unfortunately, simple counterexamples show that if uniform convexity is removed, then instability can occur. Since Voronoi diagrams in normed spaces which are not uniformly convex do appear in theory and practice, e.g., in the plane with the Manhattan (ell_1) distance, it is natural to ask whether the stability property can be generalized to them, perhaps under additional assumptions. This paper shows that this is indeed the case assuming the unit sphere of the space has a certain (non-exotic) structure and the sites satisfy a certain "general position" condition related to it. The condition on the unit sphere is that it can be decomposed into at most one "rotund part" and at most finitely many non-degenerate convex parts. Along the way certain topological properties of Votonoi cells (e.g., that the induced bisectors are not "fat") are proved.

研究の動機と目的

• ℓ₁やℓ∞などの一様凸でないノルム空間におけるボロノイ図の幾何的安定性理論の欠如に応えること。
• 一様凸性が欠如している中でも、サイトの摂動がボロノイ細胞形状に小さな変化を引き起こす条件を同定すること。
• 一様凸空間に限定されていた連続性の結果を、より広いクラスのノルム空間へ一般化すること。
• これらの空間におけるボロノイ細胞および二等分線の位相的性質（例：誘導される二等分線の非脂肪性）を確立すること。

提案手法

• 単位球面に構造的条件を導入：単位球面はたかだか1つの円形部分と有限個の非退化凸部分に分解可能でなければならない。
• サイトに一般位置条件を課し、単位球面の幾何的構造と横断的になるように保証する。
• 距離関数およびその下位集合の摂動下での挙動を解析するために、距離幾何学的手法と連続性の議論を用いる。
• 中間値定理および位相的議論を用いて、摂動がボロノイ細胞全体にわたってどのように伝搬するかを制御する。
• ボロノイ細胞の和集合が空間全体を被覆し、境界が等距離集合に含まれることを活用する。
• 提示された条件下で、サイトの摂動サイズによってボロノイ細胞境界間のハウスドルフ距離が制御されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様凸でないノルム空間（例：ℓ₁やℓ∞）において、ボロノイ図の幾何的安定性を拡張できるか？
• RQ2 ノルム空間の単位球面にどのような構造的条件が、サイトの小さな摂動がボロノイ細胞形状に小さな変化を引き起こすことを保証するか？
• RQ3 非一様凸空間におけるボロノイ細胞の位相的性質（例：誘導される二等分線の性質）はどのように振る舞うか？
• RQ4 サイトに課された一般位置条件が、非一様凸設定における安定性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 追加の幾何的制約が満たされている場合、一様凸性を欠く空間においてもボロノイ図の連続性が保たれるか？

主な発見

• 有限次元ノルム空間におけるボロノイ図は、単位球面がたかだか1つの円形部分と有限個の非退化凸部分に分解可能な場合、サイトの小さな摂動に対して幾何的に安定である。
• このような空間における誘導される二等分線は「脂肪でない」、つまり全次元の近傍を含まないため、細胞境界の安定性を支持する。
• 各ボロノイ細胞の境界は、そのサイトと他のすべてのサイトの和集合との等距離集合に含まれる。すなわち、∂(R_k) ⊆ {x : d(x,P_k) = d(x,∪_{j≠k} P_j)} が成り立つ。
• 提示された条件下で、元の配置と摂動後の配置におけるボロノイ細胞境界間のハウスドルフ距離は、サイトの摂動サイズによって制御される。
• 証明は、距離関数の連続性および中間値定理に依拠し、空間全体にわたる摂動の伝搬を制御する。
• この結果は、従来の一様凸空間に限定された安定性結果を、運動計画、VLSI設計、最近傍探索などの応用分野で関連性の高いより広いクラスのノルム空間へ一般化する。