[論文レビュー] The Geometry of integrable systems. Tau functions and homology of Spectral curves. Perturbative definition

Bertrand Eynard|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 48被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ホロノミーと位相的再帰を用いて、スペクトル曲線から可積分系を幾何学的に構成する。τ関数とバイカー＝アキエツェル関数は、分散パラメータ $ϵ$ の形式的べき級数として、摂動的手段によりコンformal blockとして定義される。ハミルトニアンはサイクルに対応し、時間は周期に対応し、ヒロタ方程式は第3種サイクルを第2種サイクルに合体させることによって導かれる。これにより、可積分系と位相的再帰、およびCFT構造が、分散パラメータ $ϵ$ の形式的べき級数において統一される。主な貢献は、スペクトル曲線幾何と位相的再帰に基づく、可積分系におけるτ関数と振幅のホロノミックな枠組みの確立である。

ABSTRACT

In this series of lectures, we (re)view the "geometric method" that reconstructs, from a geometric object: the "spectral curve", an integrable system, and in particular its Tau function, Baker-Akhiezer functions and "current amplitudes", all having an interpretation as CFT conformal blocks. The construction identifies Hamiltonians with cycles on the curve, and times with periods (integrals of forms over cycles). All the integrable structure is formulated in terms of homology of contours, the phase space is a space of cycles where the symplectic form is the intersection, the Hirota operator is a degree 2 second-kind cycle, a Sato shift is an addition of a 3rd kind cycle, the Hirota equations amount to saying that merging 3rd kind cycles (monopoles) yields a 2nd kind cycle (dipole). The lecture is divided into 3 parts: 1) classical case, perturbative: the spectral curve is a ramified cover of a base Riemann surface -- with some additional structure -- and the integrable system is defined as a formal power series of a small "dispersion" parameter $ε$. 2) dispersive classical case, non perturbative: the spectral curve is defined not as a ramified cover (which would be a bundle with discrete fiber), but as a vector bundle -- whose dispersionless limit consists in chosing a finite set of vectors in each fiber. 3) non-commutative case, and perturbative. The spectral curve is here a "non-commutative" surface, whose geometry will be defined in lecture III. 4) the full non-commutative dispersionless theory is under development is not presented in these lectures.

研究の動機と目的

• スペクトル曲線から可積分系を幾何学的・ホロノミックな枠組みで構成し、その構造を conformal field theory (CFT) と位相的再帰と統一すること。
• τ関数とn点振幅を小さな分散パラメータ $\epsilon$ の形式的べき級数として定義し、可積分系の摂動的解析を可能にすること。
• ハミルトニアンをスペクトル曲線上のサイクルに対応させ、時間を微分形式の周期に対応させ、サイクルの交差によりシンプレクティック構造を確立すること。
• ヒロタ方程式を、第3種サイクル（モノポール）が第2種サイクル（ディポール）に合体する幾何的プロセスとして解釈し、双線形関係の位相的可視化を提供すること。
• 本形式的体系を非摂動的および非可換な設定へと拡張するための基盤を築くこと。これには、分散的および非可換古典的可積分系が含まれる。

提案手法

• 構成は、追加の構造を持つ基底リーマン面への分岐被覆としてのスペクトル曲線 $\mathcal{S}$ を用い、可積分系の幾何的入力として機能する。
• ハミルトニアンはスペクトル曲線上のホロノミー的サイクルに対応し、時間はそれらのサイクル上での正則1形式の周期として定義される。
• 位相空間上のシンプレクティック構造は交差形式によって与えられ、ダーボウ座標はラグランジュ部分多様体を用いて構成される。
• τ関数は、$ϵ$ の形式的べき級数として摂動的に定義され、サイクル空間のラグランジュ分解と統合ペアリングの正則化を用いる。
• ヒロタ方程式は、二つの第3種サイクルを合体させると第2種サイクルが得られるという幾何的条件として導出され、ディポール形成として解釈される。
• バイカー＝アキエツェル関数と電流振幅は、スペクトル曲線に付随する一般化された頂点演算子を介してコンフォーマルブロックとして構成され、ループ方程式がそれらのダイナミクスを記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロノミーと位相的再帰を用いて、スペクトル曲線の幾何から可積分系のτ関数を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 ヒロタ双線形方程式は、スペクトル曲線上のサイクルの合体とホロノミーの観点から、どのように幾何学的に解釈できるか？
• RQ3 可積分系の時間とハミルトニアンは、スペクトル曲線上の微分形式の周期とサイクルからどのように導かれるか？
• RQ4 $\epsilon$ における摂動的展開をどのように一貫的に定義すれば、ループ方程式やモジュラー性を含む完全な可積分構造を回復できるか？
• RQ5 このホロノミックな枠組みは、可積分系、CFTのコンフォーマルブロック、および位相的再帰の構造をどのように統一するか？

主な発見

• τ関数は、サイクル空間のラグランジュ分解と統合ペアリングの正則化に基づく、$ϵ$ の形式的べき級数として摂動的に定義される。
• 位相空間上のシンプレクティック構造は交差形式によって実現され、位相空間は交差数をシンプレクティック形式とするサイクルの空間として特定される。
• ヒロタ方程式は、二つの第3種サイクル（モノポール）が一つの第2種サイクル（ディポール）に合体するという幾何的解釈として与えられ、双線形関係の位相的起源を提供する。
• バイカー＝アキエツェル関数とn点振幅は、一般化された頂点演算子 $\mathcal{V}(\mathcal{S})$ がスペクトル曲線の情報を符号化するCFTコンフォーマルブロックに対応することが示された。
• 摂動的分配関数のループ方程式が導出され、それがτ関数の定義方程式と等価であることが示され、可積分階層と一貫性が保証された。
• モジュラー変換がサイクル分解に自然に作用し、τ関数と振幅の構造を保存することが示された。