[論文レビュー] Invariants of spectral curves and intersection theory of moduli spaces of complex curves

Bertrand Eynard|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、Bモデルトポロジカル弦理論におけるスペクトル曲線と、色分けされた境界を持つ安定リーマン面のモジュライ空間上の交点数の間の一般対応を確立する。任意のスペクトル曲線 $\mathcal{S}$ に対して、モジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,n}^{\mathfrak{b}}$ 上にコhomology類 $\hat{\Lambda}(\mathcal{S})$ を構成し、そのクラスをBモデルカーネルに対して積分することで、トップロジカル再帰不変量 $W_{g,n}(\mathcal{S})$ が得られることを示す。ミラー写像はラプラス変換によって実現される。

ABSTRACT

To any spectral curve S, we associate a topological class Λ(S) in a moduli space M^b_{g,n} of "b-colored" stable Riemann surfaces of given topology (genus g, n boundaries), whose integral coincides with the topological recursion invariants W_{g,n}(S) of the spectral curve S. This formula can be viewed as a generalization of the ELSV formula (whose spectral curve is the Lambert function and the associated class is the Hodge class), or Marino-Vafa formula (whose spectral curve is the mirror curve of the framed vertex, and the associated class is the product of 3 Hodge classes), but for an arbitrary spectral curve. In other words, to a B-model (i.e. a spectral curve) we systematically associate a mirror A-model (integral in a moduli space of "colored" Riemann surfaces). We find that the mirror map, i.e. the relationship between the A-model moduli and B-model moduli, is realized by the Laplace transform.

研究の動機と目的

• 任意のスペクトル曲線（特殊な場合に限らない）に対して、ELS Vおよびマリーノ＝バーファの公式を拡張すること。
• トップロジカル再帰不変量 $W_{g,n}(\mathcal{S})$ を、色分けされたリーマン面のモジュライ空間上の交点数として幾何的解釈すること。
• $\overline{\mathcal{M}}^{\mathfrak{b}}_{g,n}$ 上に、$W_{g,n}(\mathcal{S})$ が $\hat{\Lambda}(\mathcal{S})$ をBモデルカーネルに対して積分したものに一致するような、標準的なコホモロジー類 $\hat{\Lambda}(\mathcal{S})$ を構成すること。
• ウィッテン＝コンツェビッチ、ウェイリ＝ペテルソン体積、ハーワイト数、グロモフ＝ウィッテン不変量といった、多様な数え上げ不変量を、スペクトル曲線に基づく統一的な枠組みで統合すること。

提案手法

• $\mathfrak{b}$-色分けされた安定リーマン面で、$n$ 個のマークド点と genus $g$ を持つ、コン pact なモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}^{\mathfrak{b}}_{g,n}$ を導入し、標準的なモジュライ空間を一般化する。
• スペクトル曲線 ${\cal S}$ に依存するコホモロジー類 $\hat{\Lambda}({\cal S})$ を $\overline{\mathcal{M}}^{\mathfrak{b}}_{g,n}$ 上に定義し、その幾何を符号化する。
• Bモデルカーネル $\hat{B}(z,1/\psi)$ を構成し、そのラプラス変換が、ELS V公式における $\frac{\mu_i}{1 - \mu_i \psi_i}$ 項を一般化する。
• ラプラス変換を用いて、Bモデルのモジュライ（スペクトル曲線パラメータ）とAモデルのモジュライ（モジュライ空間上のコホモロジー類）を関係づけ、ミラー写像を実現する。
• ノード的退化を伴うリボングラフの留数計算と再帰的関係を用い、$\hat{\Lambda}({\cal S}) \cdot \prod_i \hat{B}(z_i, 1/\psi_i)$ の積分が、トップロジカル再帰不変量 $W_{g,n}({\cal S})$ を再現することを証明する。
• $\xi_{a_i,d}(z)$ 及びそのラプラス変換 $f_{a_k,a_i,d}(u)$ の再帰的関係を導出し、核構造を符号化する生成関数 $\check{B}_{a_k,a_i}(u,v)$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のスペクトル曲線 ${\cal S}$ のトップロジカル再帰不変量 $W_{g,n}({\cal S})$ は、リーマン面のモジュライ空間上の交点数として解釈可能か？
• RQ2 すべてのBモデルスペクトル曲線に対して、既知の公式（ELS Vやマリーノ＝バーファなど）を一般化する、普遍的なAモデルミラー構成は存在するか？
• RQ3 本フレームワークにおいて、Bモデルモジュライ（スペクトル曲線パrameter）とAモデルモジュライ（コホモロジー類）を関係づけるミラー写像は、幾何的・解析的にどのように実現されるか？
• RQ4 $W_{g,n}({\cal S})$ は、色分けされたリーマン面のモジュライ空間上で、系atically 積分として表現可能か？
• RQ5 正確には、$W_{g,n}({\cal S}) = \int_{\overline{\cal M}^{\mathfrak{b}}_{g,n}} \hat{\Lambda}({\cal S}) \cdot \prod_i \hat{B}(z_i, 1/\psi_i)$ を満たす $\overline{\cal M}^{\mathfrak{b}}_{g,n}$ 上のコホモロジー類 $\hat{\Lambda}({\cal S})$ は何か？

主な発見

• 主結果は、$W_{g,n}({\cal S}; z_1, \dots, z_n) = 2^{\dim \mathcal{M}^{\mathfrak{b}}_{g,n}} \int_{\overline{\cal M}^{\mathfrak{b}}_{g,n}} \hat{\Lambda}({\cal S}) \cdot \prod_{i=1}^n \hat{B}(z_i, 1/\psi_i)$ という公式であり、任意の $W_{g,n}$ が交点数として表現されることを示す。
• $\hat{\Lambda}({\cal S})$ はスペクトル曲線 ${\cal S}$ から構成され、ELS Vのホッジ類およびマリーノ＝バーファのホッジ類の積を一般化する。
• $\hat{B}(z, 1/\psi)$ カーネルは、ELS Vの因子 $\frac{\mu}{1 - \mu \psi}$ を一般化し、そのラプラス変換により、既知の公式における $\mu_i$-依存項が回復される。
• Bモデル（スペクトル曲線）とAモデル（モジュライ空間）の間のミラー写像は、ラプラス変換によって実現され、普遍的な双対性機構を提供する。
• 証明は留数計算とリボングラフのノード的退化に基づき、すべてのトポロジカル型において一貫性を示す。
• $dx$ がメロモーレックである場合、$\xi_{a_i,d}(z)$ の再帰的構造とそのラプラス変換は、生成関数 $\check{B}_{a_k,a_i}(u,v)$ を導き、$\check{B}_{a_k,a_i}(u,v) = \frac{uv}{u+v} \left( \delta_{i,k} - \sum_j f_{k,j}(u) f_{i,j}(v) \right)$ を満たす。この関係式は、核の振る舞いを符号化する。