[論文レビュー] The geometry of Lie algebroids and its applications to optimal control

Liviu Popescu|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 90被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非ホロノミックおよび分布的系に対して、最適制御問題の統一的取り扱いを可能にするため、リー代数的構造を用いた幾何的枠組みを構築する。リー代数的構造上でのラグランジュおよびハミルトニアン力学の一般化を行い、非線形接続および計量構造を用いて運動方程式を導出。特にハイゼンベルク群のようなサブリーマン型系にこの形式を適用し、楕円積分を用いて明示的な測地線解が曲率および異方性パラメータでパラメータ化された形で得られる。

ABSTRACT

The paper presents the geometry of Lie algebroids and its applications to optimal control. The first part deals with the theory of Lie algebroids, connections on Lie algebroids and dynamical systems defined on Lie algebroids (mainly Lagrangian and Hamiltonian systems). In the second part we use the framework of Lie algebroids in the study of distributional systems (drift less control affine systems) with holonomic or nonholonomic distributions.

研究の動機と目的

• 制約付き最適制御系のモデリングおよび解析のため、リー代数的構造に基づく幾何的枠組みの構築。
• リー代数的構造を用いて、接バンドルおよび余接バンドルの設定を超えた古典的ラグランジュおよびハミルトニアン力学の一般化。
• 特異的または非正則ラグランジュ系における標準的Legendre変換の限界を、リー代数的双対およびポisson構造を用いて克服。
• ホロノミックおよび非ホロノミックな分布的系、特にハイゼンベルクおよびグルシーンの場合を含むサブリーマン幾何を統一的に取り扱う。
• リー代数的構造上での非線形接続、曲率および計量構造を用いて、このような系の運動方程式を導出し、解く。

提案手法

• アンカー写像およびセクション上のリー括弧を用いて、接続、曲率、 torsion、およびコホロロジーを含むリー代数的構造の幾何を形式化。
• ベクターバンドル射影上でのリー代数的構造の延長を定義し、全空間 $\mathcal{T}E$ および $\mathcal{T}E^*$ 上での非線形および線形接続を導入。
• 動的共変微分および計量非線形接続を用いて、リー代数的構造上でのSODE（二階微分方程式）系を導出。
• $\mathcal{J}$-正則セクションを用いたリー代数的構造上でのハミルトニアン形式を導入し、双対バンドル上の標準ポアソン構造を用いてハミルトンの運動方程式を導出。
• サブリーマン系にこの形式を適用する際、異方性パラメータ $\varepsilon$ を持つハミルトニアン $\mathcal{H}$ を定義し、三角関数的および有理関数的置換を用いて方程式を解く。
• 系を角座標 $\theta$ に変換し、$\theta$ を変数とする明示的測地線解を導出。ここで $c=\pm1$ は弧長条件 $\mathcal{H}=1/2$ によって固定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数的幾何は、非ホロノミックおよび分布的制御系に対するラグランジュおよびハミルトニアン形式の一般化にどのように利用可能か？
• RQ2 非線形接続および計量接続は、リー代数的構造上での動的系の定義において果たす役割は何か？
• RQ3 リー代数的構造の構造定数 $L_{\alpha\beta}^{\gamma}$ は、ハミルトニアンおよびラグランジュ形式における運動方程式にどのように影響を与えるか？
• RQ4 コスト関数が二次的でない（すなわち $\varepsilon \neq 0$）場合、ハイゼンベルク群のようなサブリーマン系における測地線の明示的解は何か？
• RQ5 パラメータ $\varepsilon$ は、一般化されたサブリーマン設定下での測地線の曲率および周期性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿では、双対バンドル $\mathcal{T}E^*$ 上の標準ポアソン構造を用いて、リー代数的構造上でのハミルトニアン運動方程式を導出。非ゼロの構造関数 $L_{12}^{3}=1$ および $L_{21}^{3}=-1$ を有する。
• サブリーマン的ハイゼンベルク型系において、測地線は弧長に沿ってパラメータ化され、ハミルトニアンの値が $\mathcal{H}=1/2$ に固定され、径方向解 $r=1/(1-\varepsilon(a\cos A\theta - b\sin A\theta))$ における $c=\pm1$ が固定される。
• 座標の明示的解が得られる：$x^1(\theta) = \frac{\sqrt{1-\varepsilon^2}(a\sin A\theta + b\cos A\theta)}{\lambda(1 - \varepsilon(a\cos A\theta - b\sin A\theta))} - \frac{\sqrt{1-\varepsilon^2}b}{\lambda(1 - \varepsilon a)}$。$x^2$ および $x^3$ に対しても同様の式が成り立つ。
• $x^3$ 座標は有理三角関数式の積分により導出される：$x^3(\theta) = \frac{(1-\varepsilon^2)^{3/2}A}{2\lambda^2(1 - \varepsilon a)} \int \frac{1 - \cos A\theta}{(1 - \varepsilon(a\cos A\theta - b\sin A\theta))^2} d\theta$。この積分は非自明な楕円型積分に評価される。
• $\varepsilon=0$ の極限では、ハイゼンベルク群の古典的サブリーマン測地線に還元される：$x(t) = \frac{a\sin \lambda t - b(1 - \cos \lambda t)}{\lambda}$、$y(t) = \frac{b\sin \lambda t + a(1 - \cos \lambda t)}{\lambda}$、$z(t) = \frac{\lambda t - \sin \lambda t}{2\lambda^2}$。
• パラメータ $\lambda$ は定数であり、$\lambda = \mu_3$ に等しく、$\dot{\mu}_3 = 0$ であることから、ハミルトニアン系における $\mu_3$ の保存則に由来する。