[論文レビュー] The Geometry of Maximum Principles and a Bernstein Theorem in Codimension 2

Renan Assimos Martins|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、モーザーのバーナインシュタイン定理を余次元2に拡張するものである：ℝ^{p+2}における有界勾配を持つ整関数の最小グラフは、p次元平面でなければならない。証明では、グラスマン多様体の凸性の性質を用いて、非定数の調和ガウス写像が存在しないことを示し、非コンパクト性に対処するためにアラールの正則性定理を適用する。

ABSTRACT

Moser's Bernstein theorem \cite{moser61} says that an entire minimal graph of codimension 1 with bounded slope must be a hyperplane. An analogous result for arbitrary codimension is not true, by an example of Lawson-Osserman. Here, we show that Moser's theorem nevertheless extends to codimension 2, i.e., a minimal $p$-submanifold in $R^{p+2}$, which is the graph of a smooth function defined on the entire $R^p$ with bounded slope, must be a $p$-plane. Our method depends on convexity properties of Grassmannians which come into play as the targets of the (harmonic) Gauss maps of our minimal submanifolds. In fact, we develop a general method to construct subsets of complete Riemannian manifolds that cannot contain images of non-constant harmonic maps from compact manifolds. When applied to Grassmannians, for codimension 2, it yields an appropriate domain that cannot contain nontrivial images of such harmonic maps. Our conclusion will then be reached by an application of Allard's theorem to handle the issue that the minimal submanifolds in question are not compact.

研究の動機と目的

• モーザーのバーナインシュタイン定理を余次元1から余次元2に拡張すること。
• ℝ^{p+2}における有界勾配を持つ整関数の最小グラフが必ずアフィン平面であるかどうかを解明すること。
• 非定数の調和写像が完全なリーマン多様体に写像されない一般の方法を構築すること。
• この方法を余次元2におけるグラスマン多様体に適用し、非自明な調和ガウス写像を除外すること。
• 非コンパクト性に対処するため、アラールの定理を用いて証明における非コンパクト性を扱うこと。

提案手法

• グラスマン多様体の凸性の性質を活用し、非定数の調和写像の像を含まない領域を構成する。
• 一般の幾何学的メソッドをリーマン多様体に適用し、コンパクト多様体からの非自明な調和写像の排除を行う。
• ℝ^{p+2}における最小部分多様体の調和ガウス写像を、グラスマン多様体への調和写像として分析する。
• ℝ^{p+2}におけるp次元平面のグラスマン多様体に、非定数の調和写像を含まない領域を同定する。
• アラールの正則性定理を用いて、非コンパクト性にもかかわらず最小グラフの滑らかさと平坦性を導出する。
• 調和写像理論と幾何解析を組み合わせ、最小グラフがp次元平面でなければならないことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界勾配を持つ整関数の最小グラフについて、モーザーのバーナインシュタイン定理は余次元2でも成り立つか？
• RQ2 コンパクト多様体から余次元2におけるグラスマン多様体の特定の領域へ非定数の調和写像が写像可能か？
• RQ3 グラスマン多様体のどのような幾何的性質が、非定数の調和写像の像を防ぐか？
• RQ4 アラールの定理は、余次元2における非コンパクトな最小グラフにどのように適用できるか？
• RQ5 ℝ^{p+2}における最小グラフが必ずp次元平面であるための条件は何か？

主な発見

• 有界勾配を持つℝ^{p+2}における整関数の最小グラフは、p次元平面でなければならない。これは、モーザーの定理を余次元2に拡張したものである。
• ℝ^{p+2}におけるp次元平面のグラスマン多様体には、非定数の調和写像を含まない領域が存在する。
• グラスマン多様体の凸性の性質は、このような除外領域を構成する上で中心的な役割を果たす。
• この方法は一般にリーマン多様体に適用可能であり、非自明な調和写像の排除に役立つツールを提供する。
• アラールの正則性定理により、コンパクト性に基づく結果を非コンパクトな最小グラフへ拡張できる。
• 有界勾配を持つ余次元2の最小グラフの調和ガウス写像は、非定数にはなり得ない。