[論文レビュー] The Godbillon-Vey class, invariants of manifolds and linearised M-Theory

Ioannis P. Zois|ArXiv.org|Jun 21, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非可換トーラス上のコンネス＝ダフリス＝シュバルツのコンpactificationを用いて、線形化されたM理論における非可換ソリトン間の遷移振幅を計算するために、ゴッドビロン＝ヴェー類を適用する。3次元多様体の新しい不変量を導入し、タイト接触3次元多様体のコボルディズムとしてシンプレクティック4次元多様体を用いてアーベル型チェーン＝シモンズ理論を再定義し、埋め込み関手の線形化（浸漬関手による）を通じてトポロジカルM理論のラグランジアンを二次形式に修正する。

ABSTRACT

We apply the Godbillon-Vey class to compute the transition amplitudes between some non-commutative solitons in M-Theory; our context is that of Connes-Douglas-Schwarz where they considered compactifications of matrix models on noncommutative tori. Two important consequences follow: we describe a new normalisation for the Abelian Chern-Simons theory using symplectic 4-manifolds as providing cobordisms for tight contact 3-manifolds and we construct a new(?) invariant for 3-manifolds. Moreover we modify the topological Lagrangian density suggested for M-Theory in a previous article to a extsl{quadratic} one using the fact that the \emph{functor of immersions is a linearisation (or ``the differential'') of the functor of embeddings}

研究の動機と目的

• Godbillon-Vey類を用いて、非可換トーラス上のコンネス＝ダフリス＝シュバルツの行列モデルコンパクト化の枠組み内で、線形化されたM理論における非可換ソリトン間の遷移振幅を計算すること。
• タイト接触3次元多様体の間のコボルディズムとしてシンプレクティック4次元多様体を用いることで、アーベル型チェーン＝シモンズ理論の新しい正規化を確立すること。
• Godbillon-Vey類およびfoliation理論に基づいて、3次元多様体の新しい不変量を構成すること。
• 埋め込み関手の線形化（浸漬関手による）を通じて、トポロジカルM理論のラグランジアンを二次形式に再形式化すること。
• M理論および非可換幾何学の文脈において、K理論、foliation、インデックス理論の相関関係を探ること。

提案手法

• 非可換トーラス上のコンネス＝ダフリス＝シュバルツの行列モデルコンパクト化の枠組み内で、線形化されたM理論における遷移振幅の計算にGodbillon-Vey類を用いる。
• Godbillon-Vey類を用いて、Haefliger構造のコホモロジーおよびGelfand-Fuchsコホモロジーを介して、3次元多様体の新しい不変量を定義する。
• タイト接触3次元多様体間のコボルディズムとしてシンプレクティック4次元多様体を用いることで、アーベル型チェーン＝シモンズ理論を再解釈し、新しい正規化スキームを提供する。
• 埋め込み関手の微分（線形化）としての浸漬関手の性質に裏付けられ、元のラグランジアン形式を二次形式に置き換えることで、トポロジカルM理論のラグランジアンを修正する。
• ホモトピーおよびゲージ的同値関係を modulo としたHaefliger構造の位相的圏にQuillenの高次代数的K理論を適用し、新たなK理論 $K_{\text{\Gamma}}(M)$ を定義する。
• foliationのホロノミー群系列 $G(F)$ にQuillen-Segal構成を適用し、Connesの $K^*_{\text{top}}(G)$ に類似したK理論 $K_G(M)$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Godbillon-Vey類は、M理論における非可換ソリトン間の遷移振幅を計算するために用いることができるか？
• RQ2 シンプレクティック4次元多様体が、アーベル型チェーン＝シモンズ理論およびタイト接触3次元多様体の文脈でコボルディズムとして果たす役割は何か？
• RQ3 Godbillon-Vey類は、3次元多様体の新しい位相的不変量を生じさせるか？
• RQ4 埋め込み関手の線形化を通じて、M理論のトポロジカルラグランジアンを二次形式に修正する方法は何か？
• RQ5 foliationを持つ多様体上で同定された6つのK理論（通常、ねじれ付き、Haefligerに基づく、群系列に基づく、その他）の間の関係は何か？

主な発見

• Godbillon-Vey類は、非可換トーラス上のコンパクト化を介して、線形化されたM理論における非可換ソリトン間の遷移振幅を計算するための新しい手法を提供する。
• Haefliger構造のコホモロジーを用いたGodbillon-Vey類と、3次元多様体の新しい不変量が構成され、これは文献上、このK理論が初めて知られている。
• タイト接触3次元多様体間のコボルディズムとしてシンプレクティック4次元多様体を用いることで、アーベル型チェーン＝シモンズ理論が再正規化され、新たな幾何的解釈が得られる。
• 埋め込み関手の線形化としての浸漬関手の同定に裏付けられ、トポロジカルM理論のラグランジアンが二次形式に成功裏に修正された。
• 本論文では、foliated多様体に関連する6つの異なるK理論を同定し、その2番目はホモトピーおよび同値関係を modulo としたHaefliger構造の圏にQuillenの高次代数的K理論を適用することで構成された新規のK理論 $K_{\Gamma}(M)$ である。
• $K_{\Gamma}(M)$ の構成は、Haefliger構造の位相的圏にQuillen-Segalマシンを適用することに依拠し、Bott周期性を示さないK群が得られ、Gelfand-Fuchsコホモロジーに表現される。