[論文レビュー] The Gordon decompositions of the inertial currents of the Dirac electron correspond to a Foldy-Wouthuysen transformation

Ingo Kirsch, Lewis Ryder+1 more|ArXiv.org|Feb 16, 2001

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ディラック電子の慣性的電流のゴードン分解——特に、ゴードンスピン電流と呼ばれる対流的（Gordon）スピン電流——が、ディラック波動関数のフォルディ＝ウーツイゼン変換に正確に対応することを示している。著者らは、ゴードンスピン電流が保存され、ヒルゲボールド＝ウーツイゼンスピンに等しいことを示すことにより、相対論的量子力学における電流分解と、ディラックハミルトニアンをニュートン＝ウィーンジャー型表現に対角化するユニタリ変換との直接的な関連を確立した。

ABSTRACT

We consider Dirac's free electron theory on the first quantized level. We decompose its canonical spin current á la Gordon and find a conserved ``Gordon spin'' current which turns out to be equivalent to the Hilgevoord-Wouthuysen spin. We can conclude therefrom that the Gordon-type decomposition mentioned above corresponds to a Foldy-Wouthuysen transformation which transforms the Dirac wave function from the conventional Dirac-Pauli to the Newton-Wigner representation.

研究の動機と目的

• ディラック方程式における慣性的電流のゴードン分解とフォルディ＝ウーツイゼン変換との間の厳密な関係を確立すること。
• 対流的（ゴードン）スピン電流が保存され、既存の相対論的スピン演算子と等価であることを示すこと。
• ネーター電流とその分解を通じて、場の理論的導出による相対論的スピン演算子の導出を提供すること。
• フォルディ＝ウーツイゼン変換を用いたスピン電流の物理的解釈を明確にし、長年の相対論的スピン定義における曖昧さを解消すること。

提案手法

• ディラックラグランジアンにネーターの定理を適用し、保存エネルギー運動量およびスピン電流密度を導出すること。
• ゴードン分解を用いてスピン電流を対流的および極化的成分に分割し、『ゴードンスピン』を対流的成分として分離すること。
• パウリ＝ルバンスキーのベクトルとヒルゲボールド＝ウーツイゼンスピン演算子を、スピン保存および共変性の基準点として用いること。
• ディラックハミルトニアンを対角化し、ディラック＝パウリ表現をニュートン＝ウィーンジャー表現に写像するユニタリ変換としてフォルディ＝ウーツイゼン変換を導出すること。
• 両者が同じ保存則および変換性を満たすことを示すことにより、ゴードンスピン電流とヒルゲボールド＝ウーツイゼンスピンとの等価性を証明すること。
• レヴィ＝チビタ記号、ガンマ行列、および双対ゲージ場強度を含むテンソル恒等式を用いて、スピン電流表現の代数的等価性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック電子のスピン電流のゴードン分解は、波動関数の既知のユニタリ変換に対応するか？
• RQ2 対流的（ゴードン）スピン電流は保存されるか？ もしそうならば、既存の相対論的スピン演算子と一致するか？
• RQ3 場の理論的電流の文脈において、ヒルゲボールド＝ウーツイゼンスピン演算子は、グルルシー＝ライダーの相対論的スピン演算子とどのように関係しているか？
• RQ4 フォルディ＝ウーツイゼン変換と慣性的電流の分解との間の正確な数学的および物理的対応関係は何か？
• RQ5 保存スピン電流は、補助的場の条件に依存せずに、ネーター電流形式から直接導出可能か？

主な発見

• ゴードン分解されたスピン電流の対流的成分——「ゴードンスピン」と呼ばれる——は保存され、連続の方程式 $ D_i ilde{S}^i = 0 $ を満たす。
• ゴードンスピン電流が、古典的および量子的両方の意味でヒルゲボールド＝ウーツイゼンスピン演算子と等価であることが証明された。
• ディラック電流の対流的および極化的成分への分解は、ディラック波動関数のフォルディ＝ウーツイゼン変換に正確に対応する。
• フォルディ＝ウーツイゼン変換は、ディラック＝パウリ表現をスピンが対角化され、波動関数が局在状態を記述するニュートン＝ウィーンジャー表現に写像する。
• ゴードン法による導出されたスピン電流は、パウリ＝ルバンスキーのベクトルを介して定義される相対論的スピン演算子と一致し、ポincare群の表現理論と整合的であることが確認された。
• $ ilde{W}^{etaeta} $、$ ilde{W}^{etaetaeta} $、および双対ゲージ場強度を含む代数的恒等式を通じて等価性が確立され、$ X^{etaeta} = 2S^{etaeta}_{\text{op}} - \frac{1}{2}\sigma^{\beta\beta} $ が示された。