[論文レビュー] Leavitt path algebras of separated graphs

Pere Ara, K. R. Goodearl|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、各頂点における辺の分割を組み込むことで、古典的Leavittパス代数を拡張する分離グラフ$(E,C)$に対するLeavittパス代数$L_K(E,C)$を導入する。この代数は遺伝的であることが示され、その$\mathcal{V}$-モノイドは任意の凸アーベルモノイドを実現する。また、トレースイデアルのラティスは、グラフ論的データによって完全に決定され、任意の$(E,C)$を精錬された分離グラフに埋め込むための構成が提示される。

ABSTRACT

The construction of the Leavitt path algebra associated to a directed graph $E$ is extended to incorporate a family $C$ consisting of partitions of the sets of edges emanating from the vertices of $E$. The new algebras, $L_K(E,C)$, are analyzed in terms of their homology, ideal theory, and K-theory. These algebras are proved to be hereditary, and it is shown that any conical abelian monoid occurs as the monoid $\mon{L_K(E,C)}$ of isomorphism classes of finitely generated projective modules over one of these algebras. The lattice of trace ideals of $L_K(E,C)$ is determined by graph-theoretic data, namely as a lattice of certain pairs consisting of a subset of $E^0$ and a subset of $C$. Necessary conditions for $\mon{L_K(E,C)}$ to be a refinement monoid are developed, together with a construction that embeds $(E,C)$ in a separated graph $(E_+,C^+)$ such that $\mon{L_K(E_+,C^+)}$ has refinement.

研究の動機と目的

• 分離グラフ$(E,C)$による頂点における辺の分割を組み込むことで、Leavittパス代数を一般化すること。
• 新規代数$L_K(E,C)$のホモロジー、イデアル論、$K$-理論を分析すること。
• 任意の凸アーベルモノイドが、$\mathcal{V}(L_K(E,C))$、つまり有限生成射影加群のモノイドとして実現されることを示すこと。
• トレースイデアルのラティスをグラフ論的データを用いて特定すること。
• $\mathcal{V}(L_K(E,C))$が精錬モノイドであるための必要条件を確立し、$\mathcal{V}(L_K(E_+,C^+))$が精錬モノイドであるような精錬拡張$(E_+,C^+)$を構成すること。

提案手法

• 分離グラフ$(E,C)$のパス代数の商として$L_K(E,C)$を定義し、$E^{1*}$を用い、$C$の分割から選ばれたエッジ集合にのみCuntz-Krieger関係を課す。
• 具体的には、$E^0$および$C$の部分集合を用いて、$L_K(E,C)$のトレースイデアルのラティスをグラフ論的データで記述する。
• ラティス論的構成を用い、$\mathcal{V}(L_K(E,C))$における順序イデアルと$L_K(E,C)$におけるトレースイデアルとの間に同型写像$\Phi$および$\Psi$を介して関係を確立する。
• 任意の分離グラフ$(E,C)$に対して、$\mathcal{V}(L_K(E_+,C^+))$が精錬モノイドであるような普遍的拡張$(E_+,C^+)$を構成する。
• Thomsenによる$K$-理論および力学系の結果を活用し、$C^*$-代数的類似物$C^*(E,C)$の分析を行う。
• 同型写像を用いて、$\mathcal{V}(R)$-順序イデアルとトレースイデアルの間の完全なラティス同型を示し、トレースイデアルのラティスがグラフデータによって完全に決定されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてLeavittパス代数を頂点における辺の分割を組み込む形で一般化できるか？
• RQ2 $L_K(E,C)$の$\mathcal{V}$-モノイド$\mathcal{V}(L_K(E,C))$の構造はどのようなものか？
• RQ3 $L_K(E,C)$のトレースイデアルは、どのようにグラフ論的データで特徴づけられるか？
• RQ4 $\mathcal{V}(L_K(E,C))$が精錬モノイドであるための条件は何か？
• RQ5 任意の凸アーベルモノイドは、ある分離グラフ$(E,C)$に対して$\mathcal{V}(L_K(E,C))$として実現可能か？

主な発見

• 任意の分離グラフ$(E,C)$に対して、代数$L_K(E,C)$は遺伝的である。
• 任意の凸アーベルモノイドは、ある分離グラフ$(E,C)$に対して$\mathcal{V}(L_K(E,C))$として実現可能である。
• $L_K(E,C)$のトレースイデアルのラティスは、$S \subseteq E^0$および$T \subseteq C$を満たすあるペア$(S, T)$のラティスと同型であり、完全にグラフ論的データによって決定される。
• 任意の分離グラフ$(E,C)$を精錬された分離グラフ$(E_+,C^+)$に埋め込むための構成が存在し、その結果$\mathcal{V}(L_K(E_+,C^+))$は精錬モノイドである。
• $\Phi$および$\Psi$の同型写像により、$\mathcal{V}(L_K(E,C))$における順序イデアルと$L_K(E,C)$におけるトレースイデアルとの間で完全なラティス同型が確立される。
• $C^*$-代数的類似物$C^*(E,C)$は、$L_K(E,C)$を稠密な$^*$-部分代数として含み、Thomsenの結果を用いてその$K$-理論を計算可能である。