[論文レビュー] The Gravitational Energy of a Black Hole

Yuan Ha|ArXiv.org|Aug 10, 2005

Experimental and Theoretical Physics Studies被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、光子の脱出を伴う gedanken 実験を用いて、シュバルツシルトブラックホールの重力的エネルギーを導出し、そのホライズン内での実際の質量が観測される漸近的質量の2倍（2M 対 M）であることを示している。主な結果として、無限遠で観測される全エネルギーは E = ½Mc² であり、ホライズン質量の半分が重力的に束縛されたエネルギーであることが明らかになり、ブラックホール合体や重力波放射によるエネルギー損失を理解する上で重要である。

ABSTRACT

An exact energy expression for a physical black hole is derived by considering the escape of a photon from the black hole. The mass of the black hole within its horizon is found to be twice its mass as observed at infinity. This result is important in understanding gravitational waves in black hole collisions.

研究の動機と目的

• ブラックホール内部に束縛されたエネルギーの量、特に観測される質量と内部質量の違いという根本的問題を解明すること。
• 局所的エネルギー密度が曖昧に定義されない一般相対性理論に依存せずに、ブラックホールの全エネルギー（重力的自己エネルギーを含む）を物理的に直感的な方法で導出すること。
• 特に重力波として放射されるエネルギーに関して、ブラックホール衝突における観測質量と実際の質量の違いを明確にすること。
• 座標依存のエネルギー関数を用いて、アーノヴィット＝デセール＝ミスナー（ADM）質量とブラックホールの固有質量を結びつける枠組みを確立すること。

提案手法

• イベントホライズンのすぐ外で発生する光子が無限遠まで脱出する過程において、脱出に必要なエネルギーが mc² に相当することを示す gedanken 実験を用いる。
• 質量 m をホライズン付近からゆっくりと無限遠まで取り除くプロセスに拡張し、全エネルギーとして 2mc² が必要であることを示し、ブラックホールがこのプロセスごとに 2mc² のエネルギーを失うことを示す。
• エネルギー関数 E(r) を、r がホライズンから無限遠に至る間、正で単調減少し、漸近的に Mc² に収束するという条件から導出する。
• E(r) = f(r)[1 - √(1 - 2GM/rc²)] の形における f(r) の微分方程式を境界条件のもとで解き、f(r) = rc⁴/G を得る。
• 最終的なエネルギー式 E(r) = (rc⁴/G)[1 - √(1 - 2GM/rc²)] を導出し、シュバルツシルト半径で E(R_S) = 2Mc² となることを確認する。
• ブロウン＝ヨークの擬局所エネルギーおよびマラフのテレパラレル形式との一貫性を検証し、局所的重力的エネルギー密度に依存せずに結果が妥当であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックホール内部に束縛された全重力的エネルギーは何か？ それは無限遠で観測される質量とはどのように異なるか？
• RQ2 抽象的な形式的記述に頼らず、物理的原理に基づいてホライズン付近の質量を無限遠まで取り除くために必要なエネルギーをどのように計算できるか？
• RQ3 ブラックホールの観測質量（ADM質量）がホライズン内に存在する質量と異なるのはなぜか？ その物理的起源は何か？
• RQ4 ブラックホールのエネルギー分布が合体時に放射される重力波のエネルギーにどのように影響するか？
• RQ5 一般相対性理論における曖昧に定義された局所的エネルギー密度を用いずに、ブラックホールの全エネルギーを導出できるか？

主な発見

• 無限遠で観測されるブラックホールの全エネルギーは E = ½Mc² であり、M は観測された（ADM）質量である。これはホライズン質量が 2M であることを示唆する。
• エネルギー関数 E(r) = (rc⁴/G)[1 - √(1 - 2GM/rc²)] は、半径 r 以内に含まれる全エネルギーを記述し、r = R_S で 2Mc² から無限遠で Mc² へ減少する。
• シュバルツシルト半径 r = R_S = 2GM/c² において、エネルギーは E(R_S) = 2Mc² であり、ホライズン質量が観測質量の2倍であることを確認する。
• ホライズンと無限遠の間のエネルギー差 Mc² は、ブラックホールの重力的束縛エネルギーに相当する。
• ブラックホール合体において、重力波として放射される全エネルギーは、単純な遠方観測者による予想の2倍に達する。これは、波動が無限遠に至る過程でポテンシャルエネルギーを得るためである。
• 例ではエネルギー損失が 4M に達するが、これは重力波が脱出する際にポテンシャルエネルギーを得るため、最終ブラックホールが単純な質量差に加え、追加で 4M のエネルギーを供給する必要があるためである。