[論文レビュー] The Gromov-Eliashberg theorem by microlocal sheaf theory

Stéphane Guillermou|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、微局所層理論を用いて、Gromov-Eliashbergの定理の新しい証明を提示しており、シンプレクティック微分同相写像の列の $C^0$-極限が、再びシンプレクティックであることを示している。各シンプレクティック写像のグラフに層を関連させ、微局所的台の自己同型性を用いることで、極限ラングランジュ部分多様体がコイソトロープでなければならないことが示され、したがってラングランジュ的であることが導かれる。これにより、極限写像のシンプレクティック性が保証される。

ABSTRACT

The Gromov-Eliashberg theorem says that the group of symplectomorphisms of a symplectic manifold is C^0-closed in the group of diffeomorphisms. This can be translated into a statement about the Lagrangian submanifolds which are graphs of symplectomorphisms. It is also known that such Lagrangian submanifolds are locally microsupports of sheaves. We explain how we can deduce the Gromov-Eliashberg theorem from the involutivity theorem of Kashiwara and Schapira which says that the microsupport of a sheaf is coisotropic.

研究の動機と目的

• 微局所層理論を用いて、Gromov-Eliashbergの剛性定理の新たな証明を提供すること。
• 関連する層の微局所的台を分析することで、シンプレクティック微分同相写像の $C^0$-極限がシンプレクティックであることを確立すること。
• KashiwaraとSchapiraの自己同型定理を用いて、極限写像のグラフがコイソトロープであることを示すこと。
• 極限グラフにおけるコイソトロープ性が、それがラングランジュ的であること、したがって極限写像がシンプレクティックであることにつながることを示すこと。
• 層理論的近似およびカットオフ技術を用いて、微局所的台を極限グラフ上の点に局所化すること。

提案手法

• 著者たちは、各シンプレクティック微分同相写像 $\varphi_n$ に対して、$\mathbb{R}^{2n+1}$ 上の層 $K_n$ を関連させ、その微局所的台が $\varphi_n$ のねじれグラフ $\Lambda_{\varphi_n}$ に射影されることを保証する。
• 直接和と積を含む特徴的な三角形を用いて層 $K$ を構成し、$\rho_{\mathbb{R}^{2n}}(\dot{\mathrm{SS}}(K)) \subset \Lambda_{\varphi_\infty}$ が成り立つようにする。
• KashiwaraとSchapiraの自己同型定理を用いて、微局所的台の $K$ の像に含まれる点において、$\Lambda_{\varphi_\infty}$ がコイソトロープであることが導かれる（包含関係が等号であると仮定して）。
• 微局所層理論におけるカットオフ結果を適用して、$K_n$ を変更し、結果として得られる層 $K$ の微局所的台が、$\Lambda_{\varphi_\infty}$ 上の与えられた点 $p$ を含むようにする。これにより、$p$ において自己同型定理が適用可能になる。
• 任意に小さい $r$ を選び、$\Lambda_n^1$ が $\Lambda_\infty^1$ に収束することを用いて、原点においてもコイソトロープ性が成り立つことを示し、極限がシンプレクティックであることを証明する。
• 次数論と層理論的近似を用いて、セクションの非自明性と非定数層の保証を行い、微局所的台が空でないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromov-Eliashbergの定理は、伝統的なシンプレクティック位相幾何学の代わりに、微局所層理論を用いて証明可能か？
• RQ2 微局所的台の自己同型性は、シンプレクティック微分同相写像の極限の幾何にどのように制約を加えるか？
• RQ3 層理論的技法を用いて、シンプレクティック写像の $C^0$-極限におけるシンプレクティック性を検出可能か？
• RQ4 層の微局所的台は、シンプレクティック写像のグラフとして現れるラングランジュ部分多様体を特徴付けるのに果たす役割は何か？
• RQ5 層理論におけるカットオフおよび近似技法を用いて、極限ラングランジュ部分多様体上の特定の点に微局所的台を局所化する方法は何か？

主な発見

• 微局所層理論的アプローチを用いて、シンプレクティック微分同相写像の列の $C^0$-極限がシンプレクティックであることが示された。
• 極限写像のグラフ $\Lambda_{\varphi_\infty}$ は、構成された層 $K$ の微局所的台の自己同型性により、すべての点でコイソトロープである。
• 層 $K$ の微局所的台は、$\rho_{V^2}$ による極限グラフ $\Lambda_{\varphi_\infty}$ の逆像に含まれるが、カットオフ技術により局所的に等号が達成される。
• 極限層 $L_\infty$ のセクションの非自明性により、$\dot{\mathrm{SS}}(L_\infty) \neq \emptyset$ が保証され、これは自己同型定理の適用に不可欠である。
• 任意に小さい近傍を選び、$\Lambda_n^1$ が $\Lambda_\infty^1$ に収束することを用いて、原点においてもコイソトロープ性が成立し、$\varphi_\infty$ の線形化がシンプレクティックであることが示された。
• 証明により、極限ラングランジュ部分多様体はすべての点でコイソトロープであり、$4n$ 次元の余接空間内に $2n$ 次元で存在するため、ラングランジュ的であることが保証され、結果として $\varphi_\infty$ はシンプレクティックである。