[論文レビュー] The Gromov--Hausdorff Distance between Simplexes and Two-Distance Spaces

Alexander Ivanov, Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、すべての非ゼロ距離が等しい単体と、2つの距離 a < b をとる有限2距離空間との間のグロモフ–ハウスドルフ距離を計算し、その空間における一般化ボルスィク問題を解く正確な公式を導出する。主な結果として、グラフのクリーク被覆数と彩色数が、単体とそのグラフから構成された距離空間との間のグロモフ–ハウスドルフ距離と結びつけられ、これらのグラフ不変量の幾何的特徴づけが得られる。

ABSTRACT

In the present paper we calculate the Gromov-Hausdorff distance between an arbitrary simplex (a metric space all whose non-zero distances are the same) and a finite metric space whose non-zero distances take two distinct values (so-called $2$-distance spaces). As a corollary, a complete solution to generalized Borsuk problem for the $2$-distance spaces is obtained. In addition, we derive formulas for the clique covering number and for the chromatic number of an arbitrary graph $G$ in terms of the Gromov-Hausdorff distance between a simplex and an appropriate $2$-distance space constructed by the graph $G$.

研究の動機と目的

• 任意の単体と、距離が a と b（a < b）である有限2距離空間との間のグロモフ–ハウスドルフ距離を計算すること。
• この計算を用いて、2距離空間に対する一般化ボルスィク問題を解き、その空間が m 個の直径が厳密に小さい部分集合に分割可能となる条件を特定すること。
• 有限グラフのクリーク被覆数と彩色数を、そのグラフから導かれる2距離空間と単体との間のグロモフ–ハウスドルフ距離を用いて表現すること。

提案手法

• グラフ G の頂点集合に2距離空間を定義し、隣接頂点間に距離 a、非隣接頂点間に距離 b を割り当て、a < b ≤ 2a を満たす。
• G から距離を a（隣接）と b（非隣接）として割り当て、2距離空間を構成する。
• 単体のサイズ m とこの2距離空間との間のグロモフ–ハウスドルフ距離を用いて、分割可能性と不変量を特徴づける。
• m、k（a-距離グラフの連結成分の数）、θ（クリーク被覆数）に依存する 2dGH(λΔ, X) の明示的公式を導出する。
• 先行研究の定理 2.12 を適用し、2dGH(λΔ, X) < diam X が、直径がより小さい m 個の部分集合への分割可能性を示すことと結びつける。
• 得られた公式を用いて、クリーク被覆数 θ(G) と彩色数 γ(G) を、2dGH(aΔ, V) = b を満たす最大の整数 m に対して m+1 として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離が a と b（a < b）である有限2距離空間と単体との間のグロモフ–ハウスドルフ距離の正確な値は何か？
• RQ2 有限2距離空間が m 個の直径が厳密に小さい部分集合に分割可能となる条件は何か？
• RQ3 クリーク被覆数を、グロモフ–ハウスドルフ距離を用いた幾何的特徴づけでどのように表現できるか？
• RQ4 グラフの彩色数を、そのグラフから構成された単体へのグロモフ–ハウスドルフ距離の観点から表現できるか？
• RQ5 距離 a のグラフ（距離 a の辺を持つ）の構造と、単体へのグロモフ–ハウスドルフ距離との関係は何か？

主な発見

• 単体のサイズ m と、距離 a < b を持つ2距離空間 X との間のグロモフ–ハウスドルフ距離 2dGH(λΔ, X) は、m、k（a-距離グラフの連結成分の数）、θ（クリーク被覆数）に依存する明示的な区分的公式で与えられる。
• m < θ のとき、空間 X は m 個の直径が厳密に小さい部分集合に分割できない。一方、m ≥ θ のとき、そのような分割が存在するため、2距離空間に対する一般化ボルスィク問題が解かれる。
• グラフ G のクリーク被覆数 θ(G) は、2dGH(aΔ, V) = b を満たす最大の整数 m に対して m+1 に等しい。
• グラフ G の彩色数 γ(G) は、隣接頂点に距離 b、非隣接頂点に距離 a を割り当てた場合に、2dGH(aΔ, V) = b を満たす最大の整数 m に対して m+1 に等しい。
• 2dGH(λΔ, X) の公式は、空間の分割における極値の直径と距離を分析し、a-距離グラフの構造とその成分を用いることで導出される。
• 先行研究を一般化し、距離幾何学（グロモフ–ハウスドルフ距離）と離散的不変量（クリーク被覆数と彩色数）を結びつけることで、これらのグラフパラメータの新しい幾何的解釈が得られる。