[論文レビュー] On Borsuk's conjecture for two-distance sets

Andriy Bondarenko|arXiv (Cornell University)|May 12, 2013

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ひとこと要約

この論文は、G₂(4)とFi₂₃の強正則グラフに基づく再帰的構成を用いて、ℝ⁶⁵における64次元単位球面上に、内積が1/5または-1/15に相当する対称な角度を持つ416点の2距離集合を構成することで、2距離集合に対するBorsukの予想を反証した。この集合は直径が小さい83個の部分に分割できない。結果として、65次元における2距離集合のBorsuk数が84以上であることが示され、同様の構成により無限に多くの次元へと拡張された。

ABSTRACT

In this paper we answer Larman's question on Borsuk's conjecture for two-distance sets. We find a two-distance set consisting of 416 points on the unit sphere in the dimension 65 which cannot be partitioned into 83 parts of smaller diameter. This also reduces the smallest dimension in which Borsuk's conjecture is known to be false. Other examples of two-distance sets with large Borsuk's numbers will be given.

研究の動機と目的

• 2距離集合に対するBorsukの予想が成り立つかどうかを解明すること。
• 高次元球面上に明示的な2距離集合を構成し、大きなBorsuk数を持つこと。
• 2距離集合に対するBorsukの予想が成立しない最小の次元を低減すること。
• 強正則グラフに基づく再帰的構成を用いて、非分割性の性質を保ったまま無限に多くの次元へと拡張すること。

提案手法

• 強正則グラフの隣接行列のユークリッド的表現を用いて2距離集合を構成する。
• パラメータ(v,k,λ,μ)を持つ強正則グラフの隣接行列Aの固有値性質を用い、2種類の異なる内積を持つℝ^f内のベクトルを導出する。
• 変換z_i = y_i - (1/v)∑y_jを適用し、正規化することで、球面S^{f-1}上の単位ベクトルx_iを取得する。
• 図形の直径が、グラフにおける非隣接頂点間の最小距離に対応することを利用する。
• 直径が小さい部分に分割する最小数を推定するため、グラフ内の最大クリークのサイズを評価する。
• n個のベース構成を組み合わせ、他のすべての点と単位距離にある新しいベクトルを追加することで、高次元における再帰的構成を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低次元ユークリッド空間における2距離集合に対して、Borsukの予想を反証できるか？
• RQ2 次元nにおける2距離集合の最大可能なBorsuk数b₂(n)は何か？
• RQ3 強正則グラフは、高いBorsuk数を持つ2距離集合を体系的に構成する方法を提供するか？
• RQ4 非分割性の性質を保ったまま、構成を無限に多くの次元へと拡張できるか？
• RQ5 b₂(n) > n+1 となる最小の次元nは何か？

主な発見

• ℝ⁶⁵における64次元単位球面S⁶⁴上に、内積が1/5および-1/15の416点の2距離集合を構成したが、直径が小さい83個の部分に分割できないため、b₂(65) ≥ 84である。
• この構成は、パラメータ(416,100,36,20)を持つ強正則グラフG₂(4)に由来し、その固有値性質が望ましい2距離構造を生じる。
• 内積が1/10および-1/80の31,671点の2距離集合を、ℝ⁷⁸²における781次元単位球面S⁷⁸¹上に構成したが、直径が小さい1,376個の部分に分割できないため、b₂(781) ≥ 1,377である。
• Fi₂₃強正則グラフ（31671,3510,693,351）を用いた構成により、b₂(781) ≥ 1377が得られ、より低い次元ではより鋭い境界が得られた：b₂(780) ≥ 1102 および b₂(779) ≥ 1002。
• この結果は無限に多くの次元へと拡張された：すべてのn ≥ 1およびk ≥ 0に対して、b₂(66n + k) ≥ 84n + k + 1 および b₂(783n + k) ≥ 1377n + k + 1 が成り立つ。
• 構成は、特にFi₂₃グラフの2番目の部分構成（subconstituent）における最大クリークサイズが21以下であることを示すことで、グラフ全体におけるクリークサイズの上限を導く。