[論文レビュー] The Gromov-Witten invariants of symplectic manifolds

Holger Spielberg|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、安定写像のモジュライ空間における等長的局所化を用いて、シンプレクティックトーリック多様体のグロモフ・ワインバーグ不変量の明示的公式を導出する。ファノ多様体 $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(2)\oplus 1)$ のすべての genus-0 3点不変量を計算し、非ファノ多様体 $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3)\oplus 1)$ に対して、グロモフ・ワインバーグ不変量から得られる量子コホノロジー環がバチレフの代数的構成と一致しないことを証明し、非ファノの場合に差異が生じることを示している。

ABSTRACT

We study the fix point components of the big torus action on the moduli space of stable maps into a smooth projective toric variety, and apply Graber and Pandharipande's localization formula for the virtual fundamental class to obtain an explicit formula for the Gromov-Witten invariants of toric varieties. Using this formula we compute all genus-0 3-point invariants of the Fano manifold $¶(Ø_{¶^2}(2) \oplus 1)$, and we show for the (non-Fano) manifold $¶(Ø_{¶^2}(3) \oplus 1)$ that its quantum cohomology ring does not correspond to Batyrev's ring defined in \cite{bat93}.

研究の動機と目的

• 局所化技術を用いて、シンプレクティックトーリック多様体のグロモフ・ワインバーグ不変量の明示的公式を導出すること。
• ファノ多様体 $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(2)\oplus 1)$ のすべての genus-0 3点不変量を計算すること。
• 非ファノトーリック多様体に対して、グロモフ・ワインバーグ不変量によって定義される量子コホノロジー環がバチレフの代数的構成と一致するかを調査すること。
• 安定写像のモジュライ空間における境界成分が、量子コホノロジーの構造定数に与える影響を特定すること。

提案手法

• グレーバーとパンダリパンドの等長的局所化公式を、安定写像のモジュライ空間の仮想基本クラスに適用する。
• 滑らかで射影的なトーリック多様体への安定写像のモジュライ空間における、大きなトーラス作用の固定点成分を分析する。
• 局所化公式を用いて、グロモフ・ワインバーグ不変量を固定点寄与の和として表現し、明示的な計算公式を得る。
• 導出された公式を用いて、$\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(2)\oplus 1)$ の genus-0 3点不変量を計算する。
• 構造定数と単項式関係を分析することで、$\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3)\oplus 1)$ の量子コホノロジー環をバチレフの環と比較する。
• 関係式 $\Phi^{(p+1)\lambda_2}(Z_3,Z_3,Z_3) = \Phi^{p\lambda_2}(Z_2,Z_2,Z_2)$ を用いて整合性をテストし、$p=0,1$ で不成立であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ファノトーリック多様体に対して、グロモフ・ワインバーグ不変量から得られる量子コホノロジー環は、バチレフの代数的構成と一致するか？
• RQ2 局所化を用いて、シンプレクティックトーリック多様体の genus-0 グロモフ・ワインバーグ不変量の明示的公式は何か？
• RQ3 安定写像のモジュライ空間の境界成分は、量子コホノロジーの構造定数にどのように影響するか？
• RQ4 多様体 $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3)\oplus 1)$ のグロモフ・ワインバーグ不変量は、バチレフの量子コホノロジー環と整合性があるか？
• RQ5 多様体 $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(2)\oplus 1)$ の genus-0 3点グロモフ・ワインバーグ不変量の値は何か？

主な発見

• 多様体 $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(2)\oplus 1)$ の genus-0 3点グロモフ・ワインバーグ不変量は、局所化公式を用いて $1215$ に計算された。
• 多様体 $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3)\oplus 1)$ の量子コホノロジー環は、バチレフの環と一致しない。これは、グロモフ・ワインバーグ不変量から得られる構造定数が、バチレフの構成における単項式関係を破るためである。
• この差異は、安定写像のモジュライ空間の境界成分が量子積に非自明に寄与するため生じており、バチレフの構成における「コンactificationの中立性」の仮定が誤っていることを示している。
• 多様体 $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3)\oplus 1)$ に対して、関係式 $\Phi^{(p+1)\lambda_2}(Z_3,Z_3,Z_3) = \Phi^{p\lambda_2}(Z_2,Z_2,Z_2)$ は $p=0$ および $p=1$ で成立せず、バチレフの環との整合性が破れていることを証明している。
• この結果は、バチレフの量子コホノロジー構成が、ファノの場合に限っては成り立つが、非ファノ多様体には一般に成立しないことを示しており、ギヴェンタルの結果（ファノの場合に成立）と整合する。
• 本稿は、シンプレクティックトーリック多様体の genus-0 グロモフ・ワインバーグ不変量を局所化を用いて計算する一般的手法を確立し、今後の研究のための計算ツールを提供している。