[論文レビュー] The Grothendieck-Katz Conjecture for certain locally symmetric varieties

Benson Farb, Mark Kisin|ArXiv.org|Jul 8, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Margulisの正規部分群定理およびリー群の離散部分群に関する剛性結果を用いて、特に$\mathcal{A}_g$（$g > 1$のときのアーベル関数のモジュライ空間も含む）を含む特定の局所対称多様体に対して、Grothendieck-Katz $p$-曲率予想を証明する。主な結果は、ほとんどすべての素数を法として曲率が消えると、有限モノドロミー、したがって代数的解が得られることを示している。これは、これらの多様体上の接続の広いクラスに対して成り立つ。

ABSTRACT

Using Margulis's results on lattices in semisimple Lie groups, we prove the Grothendieck-Katz $p$-Curvature Conjecture for certain locally symmetric varieties, including the moduli space of abelian varieties ${\cal A}_g$ when $g > 1.$

研究の動機と目的

• 局所対称多様体で$\mathbf{Q}$-ランク$\geq 1$かつ$\mathbf{R}$-ランク$\geq 2$であるものの、Grothendieck-Katz $p$-曲率予想を確立すること。
• 可解なモノドロミーまたはPicard-Fuchs方程式の既知のケースを超えて、非アーベル基本群を持つ多様体へと一般化すること。
• 算術格子の理論からの剛性定理を微分ガロア理論および$p$-曲率不変量に応用すること。
• このような多様体において、ほとんどすべての素数を法として曲率が消えると、有限モノドロミー、したがって代数的解が得られることを示すこと。

提案手法

• 半単純リー群における不可約格子に対してMargulisの正規部分群定理を適用し、モノドロミー表現を制約する。
• 接続$(V, \nabla)$を素イデアル$\mathfrak{p}$を法として還元し、有限体上の$p$-曲率写像$\psi_p(V/\mathfrak{p}V, \nabla)$を定める。
• Katzの結果を適用し、$p$-曲率が消えると正則特異点であり、境界除集合の周りで有限局所モノドロミーを持つことになる。
• Margulisの超剛性を用いて、算術群の表現をシンプレクティック群から得られる自動形式バンドルの部分表現として実現する。
• AndréによるPicard-Fuchs方程式に関するKatzの結果の拡張を用い、このような系が生成するTannakianカテゴリにおけるモノドロミーの有限性を示す。
• 問題を、単連結性を用いて$\tilde{G}^{\operatorname{der}}$に埋め込み、モノドロミー表現が有限群を経由して因数分解することに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル基本群をもつ局所対称多様体に対して、Grothendieck-Katz $p$-曲率予想は成り立つか？
• RQ2 算術群からの剛性定理を用いて、$p$-曲率の消えることからモノドロミーの有限性を示せるか？
• RQ3 どの局所対称多様体に対して、ほとんどすべての素数を法として曲率が消えると代数的解が得られるか？
• RQ4 このような多様体上の接続のTannakianガロア群は、$p$-曲率が消えるとき有限か？

主な発見

• すべての接続に対して、$M = \Gamma \backslash G(\mathbb{R})^+ / K$ である局所対称多様体で、$G$の$\mathbf{Q}$-単純因子がすべて$\mathbf{Q}$-ランク$\geq 1$かつ$\mathbf{R}$-ランク$\geq 2$であるとき、Grothendieck-Katz $p$-曲率予想は成り立つ。
• $g > 1$のときのアーベル多様体のモジュライ空間$\mathcal{A}_g$に対しても、この予想は証明された。これは非アーベル基本群を持つケースである。
• ほとんどすべての素数を法として曲率が消えると、モノドロミー表現の像が有限になる。したがって、接続は有限エタール被覆上で自明になる。
• 算術群$\Gamma$を有限指数部分群に置き換えることで、モノドロミー表現が有限群を経由して因数分解することが可能になる。これは、$\Gamma$が$\tilde{G}^{\operatorname{der}}$においてザリスキ密であることによる。
• $G$が$A, B, C, D$型で$\mathbf{R}$-ランク$\geq 2$である場合、$\mathrm{Sp}_{2g}$に埋め込み、Andréの結果（モチーフ的ガロア群に関する）を適用することで、この予想は成り立つ。
• 証明は、$\tilde{G}^{\operatorname{der}}$が連結かつ半単純であること、したがって表現上のスカラー作用がモノドロミーを自明にするという事実に依存している。