[論文レビュー] The Gysin exact sequence for $S^1$-equivariant symplectic homology

Frédéric Bourgeois, Alexandru Oancea|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、接触型境界を持つシンプレクティック的にアーベルな多様体の $S^1$-等化シンプレクティックホモロジーに対して、パラメータ付きフローエルホモロジーを非等化理論と等化理論の間のブリッジとして用いることで、Gysin完全系列を確立する。主な結果は、$SH^a_k(W)$、$SH^{a,S^1}_k(W)$、および $SH^{a,S^1}_{k-2}(W)$ を関係付ける長完全系列であり、これはシンプレクティックホモロジーの自明な完全系列と整合性があり、シンプレクティック位相におけるGysin系列の幾何的実現を提供する。

ABSTRACT

We define $S^1$-equivariant symplectic homology for symplectically aspherical manifolds with contact boundary, using a Floer-type construction first proposed by Viterbo. We show that it is related to the usual symplectic homology by a Gysin exact sequence. As an important ingredient of the proof, we define a parametrized version of symplectic homology, corresponding to families of Hamiltonian functions indexed by a finite dimensional smooth parameter space.

研究の動機と目的

• シンプレクティック的にアーベルな多様体に接触型境界を持つ場合に、Viterbo のフローエル型の手法に従い、$S^1$-等化シンプレクティックホモロジーの完全な幾何的構成を提供すること。
• 非等化理論と等化理論の間を補間するための基礎的道具として、パラメータ付きシンプレクティックホモロジーを定義すること。
• 非等化ホモロジー $SH^a_k(W)$、等化ホモロジー $SH^{a,S^1}_k(W)$、および $SH^{a,S^1}_{k-2}(W)$ を関係付けるGysin完全系列を確立し、既存の自明な完全系列と整合することを証明すること。
• 余接 bundle $W = DT^*L$ の自由ループ空間 $\Lambda L$ 上での古典的Gysin系列と、Gysin系列が同型であることを示すこと。
• 強い代数的ウィルソン予想（SAWC）と強い等化代数的ウィルソン予想（EWC）の関係を明確にし、SAWCがEWCを含意することを示すこと。

提案手法

• ハミルトニアンの摂動とループ空間上の $S^1$-作用を用いたフローエル型チェイン複体により、$S^1$-等化シンプレクティックホモロジーを構成する。
• ハミルトニアンが有限次元の滑らかなパラメータ空間によって添え字づけられるパラメータ付きシンプレクティックホモロジー理論を導入し、非等化から等化への移行を媒介する。
• パラメータ付き理論にMorse-Bott技法を適用し、勾配およびフローエルの軌道のモジュライ空間に、破壊と再結合の構造を用いる。
• 1次元のモジュライ空間の数え上げを用いて、チェインホモトピー $K = K_1 + K_2$ を定義し、継続写像のホモトピー同値性を証明する。
• コーン構成とフィルター付き継続写像を用いて、異なるパラメータ付きチェイン複体を関係づけ、スペクトル系列の収束を確立する。
• $S^1$-作用が自明な $(W, \partial W)$ の $S^1$-等化ホモロジーを用いて、Gysin系列が自明な完全系列と整合することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック的にアーベルな多様体に接触型境界を持つ場合に、フローエル理論的手法を用いて $S^1$-等化シンプレクティックホモロジーを厳密に定義する方法は何か？
• RQ2 非等化シンプレクティックホモロジーとその $S^1$-等化版との間の正確な関係は何か？この関係は長完全系列として捉えられるか？
• RQ3 パラメータ付きシンプレクティックホモロジー構成は、この文脈において非等化理論と等化理論の間のブリッジとしてどのように機能するか？
• RQ4 $S^1$-等化シンプレクティックホモロジーのGysin完全系列は、シンプレクティックホモロジーの自明な完全系列と整合性を持つか？
• RQ5 強い代数的ウィルソン予想（SAWC）は、$S^1$-等化設定下で強い等化代数的ウィルソン予想（EWC）を含意するか？

主な発見

• $S^1$-等化シンプレクティックホモロジー $SH^{a,S^1}_*(W)$ は、長完全系列 $\cdots \to SH^a_k(W) \to SH^{a,S^1}_k(W) \xrightarrow{D} SH^{a,S^1}_{k-2}(W) \to SH^a_{k-1}(W) \to \cdots$ に含まれており、Gysin型完全系列を確立する。
• Gysin微分 $D$ は自明な完全系列と整合する：非等化および等化理論の両方において、Gysin系列と自明な完全系列との間の可換図式が構成される。
• 余接 bundle $W = DT^*L$ の場合、Gysin系列 (1.4) は自由ループ空間 $\Lambda L$ 上の古典的Gysin系列と同型であり、すなわち $\cdots \to H_*(\Lambda L) \to HS^1_*(\Lambda L) \xrightarrow{D} HS^1_{*-2}(\Lambda L) \to H_{*-1}(\Lambda L) \to \cdots$ である。
• $c_1(W) = 0$ である低次元 Stein 多様体に対して、$S^1$-等化シンプレクティックホモロジーは消える：$SH^{S^1}_*(W) = 0$ であり、Gysin系列は $(W, \partial W)$ の $S^1$-ホモロジーとの同型な完全系列に退化する。
• 強い代数的ウィルソン予想（SAWC）は、強い等化代数的ウィルソン予想（EWC）を含意する。これは定理1.2の可換図式と、SAWC下での $SH^*(W)$ の消滅により示される。
• パラメータ付き構成におけるホモトピーデータの選択に依存しない、$S^1$-等化シンプレクティックホモロジーの同型型が、スペクトル系列の収束および継続写像のホモトピー不変性により示される。