[論文レビュー] The Hall algebra of a curve

Mikhail Kapranov, Olivier Schiffmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上の滑らかな射影的曲線 $ X $ のベクトル束のホール代数 $ H $ を、自動形式のL関数から構成されるシャッフル代数として幾何的実現する。ランキン＝セルバーグL関数を構造定数として用いることで、著者らは $ H $ を、非分岐カスプ固有形式のスキーム $ \Sigma $ 上の一般化シャッフル代数に同定し、以前の球面部分代数に関する結果を拡張するとともに、ラフォルジュの対応を介したガロア理論的解釈を提供する。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective curve over a finite field. We describe H, the full Hall algebra of vector bundles X as a Feigin-Odesskii shuffle algebra. This shuffle algebra corresponds to the scheme S of all cusp eigenforms and to the rational function of two variables on S coming from the Rankin-Selberg L-functions. This means that the zeroes of these L-functions control all the relations in H. The scheme S is a disjoint union of countably many G_m-orbits. In the case when X has a theta-characteristic defined over the base field, we embed H into the space of regular functions on the symmetric powers of S.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的曲線 $ X $ に対して $ \mathbb{F}_q $ 上の係数を持つ一貫した層のホール代数 $ H $ の完全な代数的記述を提供すること。特に、球面部分代数を超えた記述を目的とする。
• ホール代数 $ H $ の構造を、特にランキン＝セルバーグL関数を構造定数として用いる自動形式L関数と統合すること。
• シャッフル代数と有理バイ代数を用いた幾何的・カテゴリカルな枠組みを構築し、ホール代数の乗法と余乗法をモデル化すること。
• 関数体におけるラフォルジュのラングランズ対応を用いて、$ H $ にガロア理論的解釈を与えること。
• 全ホール代数 $ H $ が、非分岐カスプ固有形式のスキーム $ \Sigma $ 上のシャッフル代数に同型であることを示し、$ H_{\text{sph}} $ に関する以前の結果を一般化すること。

提案手法

• 著者らは、カスプ固有形式のスキーム $ \Sigma $ の対称冪上に有理双準同型 $ \tilde{c} $ を定義し、ランキン＝セルバーグL関数 $ \operatorname{LHom} \colon \Sigma \times \Sigma \to \mathbb{C} $ を拡張する。
• シャッフル積を $ \tilde{c} $ で定義する $ \mathfrak{S} = \operatorname{Sym}(\Sigma) $ を用いて、ホール代数 $ H $ をシャッフル代数 $ Sh(\mathfrak{S}, \tilde{c}) $ として構成する。
• 主な技術的道具は、$ H^{\tensorsn} $ の有理的完備化であり、ホール代数の各成分に一貫して余乗法を定義可能にする。
• $ \omega_n = p_{1,\dots,1} \circ \Delta^{n-1} $ という写像を用い、ホール代数の余乗法とシャッフル積との関係を確立し、$ \omega $ がホール乗法とシャッフル乗法を intertwine することを証明する。
• 証明は、オビフォールドヒルベルト内積の正定値性と、積と余乗法の $ M $-適合性に依拠しており、これにより $ \omega $ が単射であることが保証される。
• 著者らはラフォルジュのグローバルラングランズ対応を用いて、$ H $ にガロア理論的解釈を与え、関数体上の自動形式の空間と同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線上の一貫した層の全ホール代数 $ H $ は、自動形式のL関数を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 特に高種数の場合において、球面部分代数を超えた $ H $ の代数的構造は何か？
• RQ3 ホール代数は、ランキン＝セルバーグL関数を構造定数として持つシャッフル代数として実現可能か？
• RQ4 $ H $ の関係式は、これらのL関数の零点からどのように生じるのか？その幾何的意味は何か？
• RQ5 非分岐カスプ固有形式のスキーム $ \Sigma $ は、$ H $ の代数的構造を分類する上で果たす役割は何か？

主な発見

• ホール代数 $ H $ は、$ \mathfrak{S} = \operatorname{Sym}(\Sigma) $ およびランキン＝セルバーグL関数を拡張する有理双準同型 $ \tilde{c} $ を用いた一般化シャッフル代数 $ Sh(\mathfrak{S}, \tilde{c}) $ に同型である。
• $ \omega \colon H \to \bigoplus_n (H_1)^{\otimes n}_{\text{rat}} $ はベクトル空間のモノモルフィズムであり、$ H $ を $ \Sigma $ 上の正則対称関数、すなわち $ \mathbb{C}_{\text{qcom}}[\operatorname{Sym}(\Sigma)] $ に埋め込む。
• $ H $ は、イーゼンスタイン級数の定数項を支配する有理関数 $ \operatorname{LHom}(f_j, f_i, t_j/t_i) $ を用いて定義されるシャッフル代数と同型であることが示された。
• 楕円曲線の場合、$ H $ は球面ホール代数 $ H_{\text{sph}} $ に同型な可換な無限テンソル積に分解され、フレティラの結果の別証明が得られる。
• オビフォールドヒルベルト内積によって誘導される $ \mathbb{C}_{\text{qcom}}[\operatorname{Sym}(\Sigma)] $ 上のスカラー積は、$ \operatorname{LHom} $ から構成される有理重み関数に対応し、マクドナルドの内積を一般化する。
• $ k[S] $-加群 $ H(S) $ は、各成分 $ S \subset \mathfrak{S} $ に対してねじれがない。これは $ \omega_n $ の単射性と構造定数の有理性に起因する。