[論文レビュー] The Hamilton principle for fluid binary mixtures with two temperatures

Henri Gouin, Tommaso Ruggeri|ArXiv.org|May 2, 2009

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、異なる成分温度を有する流体二成分混合系へハミルトン原理を拡張し、複数のエントロピーと相対速度を組み込んだ変分法によって運動方程式とエネルギー収支方程式を導出する。主な貢献は、温度差に起因する力学的圧力項の同定であり、これは古典的熱力学的予測と整合しており、熱力学第二法則によって系を閉じる。

ABSTRACT

For binary mixtures of fluids without chemical reactions, but with components having different temperatures, the Hamilton principle of least action is able to produce the equation of motion for each component and a balance equation of the total heat exchange between components. In this nonconservative case, a Gibbs dynamical identity connecting the equations of momenta, masses, energy and heat exchange allows to deduce the balance equation of energy of the mixture. Due to the unknown exchange of heat between components, the number of obtained equations is less than the number of field variables. The second law of thermodynamics constrains the possible expression of a supplementary constitutive equation closing the system of equations. The exchange of energy between components produces an increasing rate of entropy and creates a dynamical pressure term associated with the difference of temperature between components. This new dynamical pressure term fits with the results obtained by classical thermodynamical arguments and confirms that the Hamilton principle can afford to obtain the equations of motions for multi-temperature mixtures of fluids.

研究の動機と目的

• 各成分が独自の温度およびエントロピーを有する流体二成分混合系に対する変分原理を構築すること。
• 非保存的で多温度状態の下でハミルトン原理を用いて、各成分の運動方程式および全エネルギー収支方程式を導出すること。
• 熱力学第二法則によって制約された構成方程式を導入することで、方程式系を閉じること。
• 温度差に起因する力学的圧力項を同定し、古典的熱力学的予測と整合させること。
• 変分的手法が、弱い散乱領域において既知の法則（フィックの法則、フォアラーの法則）と一致することを示すこと。

提案手法

• 密度、エントロピー、相対速度、外力に依存する一般化されたハミルトン作用積分を定式化し、ラグランジアンを導入すること。
• オイラー座標系における変分を適用し、各成分の運動方程式および質量収支方程式を導出すること。
• 時間並進不変性を用いて、成分間の熱交換収支方程式を導出すること。
• 運動量、質量、エネルギー、熱交換方程式を結びつけるギブズの力学的恒等式を導出し、混合系全エネルギー方程式を導出すること。
• 弱い散乱状態における局所的平衡のための平均温度を導入し、実際の状態と平衡状態を比較すること。
• 熱力学第二法則を適用し、熱交換および運動量生成項の構成形を制約すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトン原理を複数の温度を有する流体混合系へ拡張し、一貫性のある運動方程式およびエネルギー収支方程式を導出できるか？
• RQ2 各成分に異なる温度が存在する場合、変分原理および導出される方程式系にどのような影響を与えるか？
• RQ3 熱力学第二法則が、このような混合系における熱および運動量交換の構成方程式を制約する役割を果たすか？
• RQ4 成分間の温度差に起因する力学的圧力項は、古典的熱力学的結果とどのように関係するか？
• RQ5 導出された方程式は、弱い散乱領域において、既知の法則（例：フィックの法則、フォアラーの法則）にどのように還元されるか？

主な発見

• 変分的定式化により、二成分温度を有する流体二成分混合系において、各成分の運動方程式および成分間の熱交換収支方程式が一貫して得られた。
• 成分間の温度差に起因する力学的圧力項が出現し、これは古典的熱力学的予測と整合している。
• ギブズの力学的恒等式により、成分レベルの収支から混合系全エネルギー方程式を導出でき、熱力学的整合性が保証された。
• 弱い散乱領域において、運動量生成と速度差との比例関係により、フィックの拡散法則が回復された。
• エントロピー生成項が非負であることが示され、熱力学第二法則を満たしており、正の比例係数を持つ構成関係によって系が閉じられた。
• 一次近似において、導出された方程式は古典的形（例：ナビエ＝ストークス方程式、フォアラーの法則）に還元され、従来の非平衡熱力学と整合していることが確認された。