[論文レビュー] The Harder-Narasimhan stratification of the moduli stack of G-bundles via Drinfeld's compactifications

Simon Schieder|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、任意の特徴を持つ代数閉体上の滑らかな射影的曲線上の $G$-バンドルのモジュライスタックにおけるHarder-Narasimhan層化を、Drinfeldの相対的コンパクト化 $ar{Βun}_P$ と主バンドルのTannakian形式主義を用いて確立する。主な貢献は、特徴に依存しない幾何的証明による、標準還元の存在および一意性の証明であり、再帰的群に対する新しいスロープ理論を導入し、$ΒL}_n$-バンドルの古典的理論を一般化する。

ABSTRACT

We use Drinfeld's relative compactifications and the Tannakian viewpoint on principal bundles to construct the Harder-Narasimhan stratification of the moduli stack Bun_G of G-bundles on an algebraic curve in arbitrary characteristic, generalizing the stratification for G=GL_n due to Harder and Narasimhan to the case of an arbitrary reductive group G. To establish the stratification on the set-theoretic level, we exploit a Tannakian interpretation of the Bruhat decomposition and give a new and purely geometric proof of the existence and uniqueness of the canonical reduction in arbitrary characteristic. We furthermore provide a Tannakian interpretation of the canonical reduction in characteristic 0 which allows to study its behavior in families. The substack structures on the strata are defined directly in terms of Drinfeld's compactifications, which we generalize to the case where the derived group of G is not necessarily simply connected. We furthermore use Drinfeld's compactifications to establish various properties of the stratification, including finer information about the structure of the individual strata and a simple description of the strata closures. Finally, we introduce a novel notion of slope for principal bundles which allows for a natural formulation of the reduction theory of arbitrary reductive groups in arbitrary characteristic.

研究の動機と目的

• 任意の再帰的群 $G$ に対して、任意の特徴を持つ場合の $ΒL}_n$-バンドルから $G$-バンドルへのHarder-Narasimhan層化の拡張を達成すること。
• $G$-バンドルの標準還元の存在および一意性を、完全に幾何的かつ特徴に依存しない証明を与えること。
• 再帰的群 $G$ の導来部分群が単連結でない場合にも、Drinfeldの相対的コンパクト化 $ar{Βun}_P$ を一般化すること。
• すべての再帰的群と特徴に対して一様な還元理論を可能にする、主バンドルの新しいスロープの概念を導入すること。
• $\bar{Βun}_P$ の幾何と関連写像を用いて、層化とその閉包を明示的に記述すること。

提案手法

• Harder-Narasimhan層化を構成・解析する中心的幾何的道具として、Drinfeldの相対的コンパクト化 $ar{Βun}_P$ を用いる。
• 最高重量表現におけるフィルトレーションを通じて $G$-バンドルの還元を解釈するTannakian形式主義を適用し、標準還元の幾何的取り扱いを可能にする。
• Bruhat分解のTannakian的解釈を確立し、還元を比較し、パラボリック部分群の相対的位置を支配する主要な不等式を証明する。
• 任意の再帰的群 $G$ に対して一般化されたDrinfeldコンパクト化 $ar{Βun}_P$ を構成し、代数的性と適切な層化を保証するようにターゲットスタックを修正する。
• 各 $\check{\theta} \in \check{\Lambda}_{G,P}^{\mathrm{pos}}$ に対して、写像 $j_{\check{\theta}}$ を用いて、積 $X^{\check{\theta}} \times \mathrm{Bun}_{P,\check{\lambda}_P + \check{\theta}}$ から $\overline{\mathrm{Bun}}_{P,\check{\lambda}_P}$ への写像を構成し、層化を局所的閉部分スタック $\mathrm{Bun}_G^{P,\check{\lambda}_P}$ として構成する。
• $\overline{\mathrm{Bun}}_{P,\check{\lambda}_P}$ が $\mathrm{Bun}_{Z,0}$ による torsor であることを利用し、単連結被覆からの層化を降下させ、層化への分解を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の特徴を持つ場合の、$ΒL}_n$-バンドルのHarder-Narasimhan層化を、任意の再帰的群 $G$ に対する $Βun}_G$ へどのように一般化できるか？
• RQ2 正の特徴における $G$-バンドルの標準還元を定義する適切な幾何的・代数的枠組みは何か？
• RQ3 再帰的群 $G$ の導来部分群が単連結でない場合に、Drinfeldのコンパクト化 $ar{Βun}_P$ をどのように一般化できるか？
• RQ4 すべての再帰的群に対して一様な還元理論を可能にする、自然かつ内在的な $G$-バンドルのスロープの概念は何か？
• RQ5 Harder-Narasimhan層化における層化の閉包はどのように振る舞い、幾何的に記述できるか？

主な発見

• 任意の特徴において、$\mathrm{Bun}_G$ のHarder-Narasimhan層化が存在し、パラボリック部分群 $P$ とコキャラクター $\check{\lambda}_P$ によってインデックスづけられた局所的閉部分スタック $\mathrm{Bun}_G^{P,\check{\lambda}_P}$ の直和である。
• 任意の特徴において、$G$-バンドルの標準還元が存在し、一意的であることが、Bruhat分解のTannakian的解釈と還元の相対位置に関する主要な不等式を用いた証明により示された。
• $\mathrm{Bun}_G$ 内の層化の閉包は、より低いスロープの層化の和集合として記述され、$\overline{\mathrm{Bun}}_P$ の層化を通じて、単純かつ一様な記述が可能である。
• 任意の再帰的群 $G$ に対して一般化されたDrinfeldコンパクト化 $ar{Βun}_P$ が構成され、$\check{\theta} \in \check{\Lambda}_{G,P}^{\mathrm{pos}}$ によってパラメトライズされる局所的閉部分スタック $\overline{\mathrm{Bun}}_{P,\check{\lambda}_P}^{\check{\theta}}$ への層化を備えている。
• 特徴 0 の場合、関連バンドルにおける標準還元はTannakian形式主義と整合するフィルトレーションを備え、その家族における振る舞いの研究が可能になる。
• 各層化 $\mathrm{Bun}_G^{P,\check{\lambda}_P}$ における部分スタック構造は、$X^{\check{\theta}} \times \mathrm{Bun}_{P,\check{\lambda}_P + \check{\theta}}$ から $\overline{\mathrm{Bun}}_{P,\check{\lambda}_P}$ への写像 $j_{\check{\theta}}$ を直接用いて定義される。