[論文レビュー] The harmonic gauge condition in the gravitomagnetic equations

J.‐F. Pascual‐Sánchez|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2000

Relativity and Gravitational Theory参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、調和ゲージにおける線形化されたアインシュタイン場方程式から導かれる重力磁気的方程式が、重力ポテンシャルが時間に依存しても、依然としてマクスウェル＝ローレンツ電磁力学と完全に類似していることを示している。主な結果は、調和ゲージを正しく適用した場合、スピンダイナモのような現象に不可欠な重力磁気的誘導項が保存されることであり、時間依存ポテンシャル下で類似性が崩れるという以前の誤解が解けたことである。

ABSTRACT

It has been asserted in the literature that the analogy between the linear and first order slow motion approximation of Einstein equations of General Relativity (gravitomagnetic equations) and the Maxwell-Lorentz equations of electrodynamics breaks down if the gravitational potentials are time dependent. In this work, we show that this assertion is not correct and it has arisen from an incorrect limit of the usual harmonic gauge condition, which drastically changes the physical content of the gravitomagnetic equations.

研究の動機と目的

• 重力ポテンシャルが時間に依存する場合、線形化重力と電磁力学の類似性が崩れるという、文献に長年存在した主張を解消すること。
• そのような類似性の見かけ上の崩壊は、調和ゲージ条件の誤った極限化に起因するものであり、物理的不整合とは無関係であることを明確にすること。
• 調和ゲージを最初の順序の遅い運動近似で正しく適用した場合、ファラデーに類似した誘導項を含む重力磁気的方程式が、依然として有効かつ一貫していることを示すこと。
• 重力磁気的誘導項がスピンダイナモ効果のような理論的構成において不可欠であることを示し、流体と重力の結合に関するさらなる研究が求められることを示すこと。

提案手法

• 調和（デ・ドンデル）ゲージ条件を用いて線形化アインシュタイン場方程式を導出し、ダランベール作用素と最初の順序の摂動との一貫性を保証すること。
• 重力ポテンシャル $ \overline{h}_{ab} $ の一次微分のみに依存するテンソル量 $ G^{abc} $ を導入し、場の強度で場の方程式を表現すること。
• 最初の順序の遅い運動近似を適用し、エネルギー運動量テンソルにおける二次速度項を無視し、$ T^{00} = \rho c^2 $ および $ T^{0i} = \rho c v^i $ のみを保持すること。
• 調和ゲージ条件 $ \overline{h}^{ab}_{\;,b} = 0 $ を課すことにより、ローレンツに類似した条件 $ \nabla \mathbf{a} + \frac{1}{c} \frac{\partial \Phi}{\partial t} = 0 $ が得られ、誘導項が保存されることを保証すること。
• 近似されたエネルギー運動量テンソルを場の方程式に代入して最終的な重力磁気的方程式を導出し、結果としてマクスウェルの方程式と符号が反転した形式的に同一の系が得られることを示すこと。
• 過去の文献で誤って $ \partial \mathbf{a} / \partial t = 0 $ を仮定したアプローチと対比させることにより、誘導項が人工的に抑制されたことの原因を明らかにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重力ポテンシャルが時間に依存する場合、線形化重力と電磁力学の類似性は、過去の文献が主張するように崩れるのか？
• RQ2 一般相対性理論の最初の順序の遅い運動近似における調和ゲージ条件の正しい極限は何か？
• RQ3 一部の導出において重力磁気的誘導項が消失するのはなぜであり、それは物理的に正当化されるのか？
• RQ4 時間依存状況下でも重力磁気的誘導項を保存することは可能であり、重力的力学にどのような意味を持つのか？
• RQ5 弱い重力場におけるテスト粒子のローレンツに類似た力の法則は、誘導項を含む完全な重力磁気的方程式と整合的か？

主な発見

• 調和ゲージ条件から導かれる重力磁気的方程式は、重力ポテンシャルが時間に依存しても、依然としてマクスウェル＝ローレンツ方程式と完全に類似している。
• ファラデーに類似した方程式における重力磁気的誘導項 $ \partial \mathbf{g} / \partial t $ は、調和ゲージを正しく適用した場合に保存され、過去の主張とは対照的である。
• 誘導項が消失した原因である誤った仮定 $ \partial \mathbf{a} / \partial t = 0 $ は、物理的に正当化されておらず、調和ゲージと整合しないことが示された。
• 正しいゲージ条件は、$ \nabla \mathbf{a} + \frac{1}{c} \frac{\partial \Phi}{\partial t} = 0 $ のローレンツに類似した形であり、系の動的整合性を維持する。
• 得られた方程式は、回転する重力場系におけるフィードバック機構を可能にするため、スピンダイナモ効果の可能性を支持する。
• 定常状態では、方程式はクーロンに類似たゲージ $ \nabla \mathbf{a} = 0 $ に還元され、重力磁気的場 $ \mathbf{b} $ は $ \nabla \wedge \mathbf{a} $ で与えられ、地球の回転に起因するフレーム・ドラッグの既知の式と一致する。