[論文レビュー] The Hawaiian earring group is topologically incomplete

Paul Fabel|ArXiv.org|Feb 7, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ハワイアン・エアラインの基本群が、商位相または逆極限位相を備えた場合でも、非可算かつ他の点で位相的に完備であるにもかかわらず、バーレ空間でないことを示している。主な結果は、この群にその位相と整合する完全な距離が存在しないことであり、これは、ペアノ連結空間の位相的基本群における距離化可能性と完備性に関する長年の問いを解決するものである。

ABSTRACT

The premier exhibition of the following phenomenon: The fundamental group of any Peano continuum constructed in similar fashion to the Hawaiian earring admits two natural distinct topological group structures. However despite being uncountable and regular, neither group is a Baire space and hence neither group admits a compatible complete metric.

研究の動機と目的

• ハワイアン・エアラインの基本群の位相的構造を調査すること、これは非局所的コネクテッドなペアノ連結空間の代表的例である。
• ハワイアン・エアラインの位相的基本群が、その位相と整合する完全な距離を有するかどうかを特定すること。
• ハワイアン・エアラインの基本群が、2つの自然な位相（ループからの商位相または逆極限位相）のいずれに対してもバーレ空間でないことを確立すること。
• 特に、同型写像 $\phi: \pi_1(HE,p) \to \varprojlim \pi_1(X_n,p)$ の位相的性質を明確にすること、特にそれが同相写像でないことに焦点を当てる。
• 非離散位相を持つ最も単純な非自明な例を分析することで、今後の位相的基本群理論の研究の基準を提供すること。

提案手法

• 論文は、各々 $n$ 個のループが基点で接続された有限個の輪のワッペン $X_n$ の逆極限としてハワイアン・エアラインを構成する。
• 空間の基点付きループからの商位相によって、$\pi_1(HE,p)$ に位相群構造を定義する。
• 各還元語表示における非自明なセルの数を数える写像 $\sigma: \varprojlim \pi_1(X_n,p) \to \naturals$ を導入する。
• 各逆像 $\sigma^{-1}(K)$ が逆極限空間において閉かつ内部が空であることを証明し、その結果として空間がバーレ空間でないことを示す。
• この結果を、同型写像 $\phi$ の連続性を用いて $\pi_1(HE,p)$ に持ち上げる。$\phi^{-1}(\sigma^{-1}(K))$ が閉かつ内部が空であることを示す。
• バーレのカテゴリーより、$\pi_1(HE,p)$ も、$\phi$ による像に対しても完全な距離が存在し得ないことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハワイアン・エアラインの位相的基本群は、その位相と整合する完全な距離を有するか？
• RQ2 同型写像 $\phi: \pi_1(HE,p) \to \varprojlim \pi_1(X_n,p)$ は、その像上に同相写像か？
• RQ3 ペアノ連結空間の位相的基本群が、自然な位相のもとで非可算かつ非バーレ空間であることはあり得るか？
• RQ4 $\phi$ が同相写像でないことは、$\pi_1(HE,p)$ が距離化可能でないことを示唆するか？
• RQ5 位相的基本群 $\pi_1(HE,p)$ がバーレ空間でないという事実が、ホモトピー論におけるリトラクション理論にどのような位相的結果をもたらすか？

主な発見

• ハワイアン・エアラインの位相的基本群 $\pi_1(HE,p)$ は、商位相または逆極限位相のいずれに対してもバーレ空間でない。
• 同型写像 $\phi: \pi_1(HE,p) \to \varprojlim \pi_1(X_n,p)$ は連続であるが、その像上に同相写像でない。
• 像 $\phi$ はバーレ空間でない。なぜなら、それは内部が空の閉集合の可算個の和集合であるからである。
• 各逆像 $\phi^{-1}(\sigma^{-1}(K))$ は $\pi_1(HE,p)$ 内で閉かつ内部が空であるため、群がバーレ空間でないことが証明される。
• その結果、$\pi_1(HE,p)$ はその位相と整合する完全な距離を有さない。
• この結果は、ハワイアン・エアラインが、その基本群に完全な距離が存在する任意の空間のリトラクトにはなり得ないことを示唆する。