[論文レビュー] The Hilbert scheme of points and its link with border basis

Mari-Emi Alonso, Jérôme Brachat+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、点付きヒルベルト層 $Τ\text{Hilb}^{\mu}(\mathbb{P}^n)$ を単一のグラスマンニアンの部分スキームとして定義する、新しい簡略化された2次プラüッカー類似方程式の集合を提示する。従来の方法に比べ、より効率的で明示的な表現が可能となる。これらの式は境界基底の交換関係および生成関係から導かれる。スキームは点付きヒルベルト函手を代表することを証明し、境界基底に関する射影を用いた新しい接空間の記述が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we give new explicit representations of the Hilbert scheme of $μ$ points in $\PP^{r}$ as a projective subvariety of a Grassmanniann variety. This new explicit description of the Hilbert scheme is simpler than the previous ones and global. It involves equations of degree $2$. We show how these equations are deduced from the commutation relations characterizing border bases. Next, we consider infinitesimal perturbations of an input system of equations on this Hilbert scheme and describe its tangent space. We propose an effective criterion to test if it is a flat deformation, that is if the perturbed system remains on the Hilbert scheme of the initial equations. This criterion involves in particular formal reduction with respect to border bases.

研究の動機と目的

• 点付きヒルベルトスキーム $Τ\text{Hilb}^{\mu}(\mathbb{P}^n)$ を単一のグラスマンニアンの部分スキームとして、効果的かつ明示的に表現すること。
• 従来の高次多項式の定義式を、プラüッカー座標における完全な2次方程式の集合に簡略化すること。
• これらの2次方程式と標準的なプラüッカー関係式によって定義されるスキームが、点付きヒルベルト函手 $Τ\mathbf{Hilb}^{\mu}_{\mathbb{P}^n}$ を代表することを証明すること。
• 基礎となる境界基底に関する射影を用いて、ヒルベルトスキームの点における接空間の新しい幾何的記述を提供すること。

提案手法

• 多項式環における境界基底の交換関係および生成関係から、ヒルベルトスキームの新しい定義式を導出する。
• これらの関係を、単一のグラスマンニアンのプラüッカー座標における2次方程式として表現し、従来の構成に比べ次数を低減する。
• 恒続性定理および双対性を用いて、これらの新しい方程式を通じてヒルベルトスキームをグラスマンニアン内に射影的代数的集合として埋め込む。
• 境界基底の構造を活用して、ヒルベルト多項式 $μ$ が固定された0次元スキームの平坦族を特徴付ける。
• ヒルベルトスキームの点における接空間を、基礎となる境界基底に関する射影の空間として再定式化し、幾何的解釈を提供する。
• これらの新しい方程式が満たす普遍性を示すことで、点付きヒルベルト函手の代表可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点付きヒルベルトスキーム $Τ\text{Hilb}^{\mu}(\mathbb{P}^n)$ は、従来の構成よりも次数が低い完全で明示的な方程式集合によって定義可能か？
• RQ2 境界基底の交換関係および生成関係を、グラスマンニアン内でのヒルベルトスキームの定義式に体系的に変換する方法は何か？
• RQ3 これらの新しい方程式によって定義されるスキームは、点付きヒルベルト函手 $Τ\mathbf{Hilb}^{\mu}_{\mathbb{P}^n}$ を十分に代表できるか？
• RQ4 基礎となる境界基底構造に関して、ヒルベルトスキームの接空間の幾何的解釈は何か？

主な発見

• 本稿では、単一のグラスマンニアンの部分スキームとして、$Τ\text{Hilb}^{\mu}(\mathbb{P}^n)$ の完全で効果的な定義式集合が構成され、すべてプラüッカー座標において2次である。
• これらの新しい方程式は、バイヤーおよびアイアロビーノ＝カネフの式よりも単純で、次数も低い。これらは、$n+1$ 個の変数における次数 $μ$ の単項式の個数から $μ$ を引いた値に等しい次数の式であった。
• これらの2次方程式と標準的なプラüッカー関係式によって定義されるスキーム $Τ\text{Hilb}^{\mu}(\mathbb{P}^n)$ は、点付きヒルベルト函手 $Τ\mathbf{Hilb}^{\mu}_{\mathbb{P}^n}$ を代表する。
• ヒルベルトスキームの点における接空間は、基礎となる境界基底に関する射影の空間として特徴づけられ、新しい幾何的解釈が得られる。
• この構成により、新しい2次方程式とプラüッカー関係式のみを用いて、点付きヒルベルト函手の代表可能性の新たな証明が得られる。
• この手法により、$Τ\text{Hilb}^{\mu}(\mathbb{P}^n)$ は自然な射影的代数的集合構造を備え、グラスマンニアンに埋め込まれ、明示的かつ低次の定義式を有する。