[論文レビュー] The Hochschild cohomology of a Poincaré algebra

Po Hu|ArXiv.org|Jul 27, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Poincaré代数のHochschildコホモロジーが、フレームド2次元小円板operad $ olimits\mathcal{D}_2$ による自然な作用を持つことを確立している。ChasとSullivanのストリングトポロジー結果を一般化する。Voronovのカクタスoperadとカクタス集合を用いて、単体的実現と双対性を介して、Poincaré代数のHochschildホモロジーの双対が、$ olimits\mathcal{D}_2$-代数構造を有することを示した。

ABSTRACT

In this note, we define the notion of a cactus set, and show that its geometric realization is naturally an algebra over Voronov's cactus operad, which is equivalent to the framed 2-dimensional little disks operad $\mathcal{D}_2$. Using this, we show that the Hochschild cohomology of a Poincaré algebra A is an algebra over (the chain complexes of) $\mathcal{D}_2$.

研究の動機と目的

• コホモロジーに自然に$ olimits\mathcal{D}_2$-代数構造を備える代数的構造を特定すること。
• ChasとSullivanの$H_*(LM)$に関するストリングトポロジー結果を、より広い代数的クラスへ拡張すること。
• カクタス集合を定義し、$ olimits\mathcal{D}_2$-代数構造の組み合わせ的モデルとして用いること。
• カクタスoperad作用を介して、Poincaré代数のHochschildホモロジーの双対が$ olimits\mathcal{D}_2$-代数であることを証明すること。
• Poincaré代数とフレームド小円板operad構造との間の関係をコホモロジーにおいて確立すること。

提案手法

• 区間の交差における区別された点と巡回順序を備えた、追加構造を持つ循環的対象としてカクタス集合を定義すること。
• カクタスoperad $ olimits\mathcal{C}$ による作用を自然に持つ、カクタス集合の単体的実現を構成すること。
• カクタスoperad $ olimits\mathcal{C}$ がフレームド小円板operad $ olimits\mathcal{D}_2$ とホモトピー同値であるという事実を用いること。
• Poincaré代数 $A$ の循環的コバーバー構成 $C_{\text{cyclic}}(A)$ に双対性を適用し、これは巡回的対称性を伴う $A^{igotimes n+1}$ に同型であることを用いること。
• Hochschildホモロジー $HH_*(A)^\vee$ の双対が、カクタスoperad作用を通じて $ olimits\mathcal{D}_2$-代数構造を引き継ぐことを示すこと。
• $\mathcal{C}$ と $\mathcal{D}_2$ の同値性を活用し、Hochschildコホモロジー $HC^*(A)$ が $ olimits\mathcal{D}_2$-代数であることを結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような代数的構造が、コホモロジーに自然に$ olimits\mathcal{D}_2$-代数構造を備えているか？
• RQ2 カクタスoperadは、ホモロジー代数における$ olimits\mathcal{D}_2$-代数構造をどのようにモデル化できるか？
• RQ3 Poincaré代数のHochschildコホモロジーは、$ olimits\mathcal{D}_2$-代数構造を有するか？
• RQ4 Poincaré代数上のコバーバー構成を用いて、双対性を介して$ olimits\mathcal{D}_2$-代数構造を実現できるか？
• RQ5 Hochschildホモロジーとコホモロジーの双対性は、$ olimits\mathcal{D}_2$-代数構造とどのように関係するか？

主な発見

• Poincaré代数のHochschildホモロジーの双対は、フレームド2次元小円板operad $ olimits\mathcal{D}_2$ による自然な作用を持つ。
• カクタス集合は、$ olimits\mathcal{D}_2$-代数の組み合わせ的モデルを提供し、その単体的実現はカクタスoperadの作用を自然に持つ。
• カクタスoperad $ olimits\mathcal{C}$ はホモトピー同値に $ olimits\mathcal{D}_2$ であるため、双対性を介して $ olimits\mathcal{D}_2$-構造をコホモロジーへ移すことができる。
• Poincaré代数 $A$ に対して、Hochschildコホモロジー $HC^*(A)$ は、Hochschildホモロジーの双対 $HH_*(A)^\vee$ と同型であり、これに $ olimits\mathcal{D}_2$-代数構造が引き継がれる。
• この構成は、ChasとSullivanの $H_*(LM)$ に関する結果を一般化し、$HC^*(C^*(M)) \simeq C_*(LM^{\nu_M})$ が $ olimits\mathcal{D}_2$-代数構造を有することを示している。