[論文レビュー] The Hochschild cohomology ring of a Frobenius algebra with semisimple Nakayama automorphism is a Batalin-Vilkovisky algebra

Thierry Lambre, Guodong Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 36被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、半単純なナカヤマ自己同型を備えたフロベニウス代数のホッフシュルトコホモロジー環が、バタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）代数構造を持つことを確立している。これは、対称代数やねじれカルビ・ヤウ代数に関する先行研究を一般化するものである。ナカヤマ自己同型の半単純性を用いて双対性を備えたタマリン＝ツィガン計算を構成することで、双対性とコネスのB作用素を用いてBV作用素Δの存在を証明し、自己同型代数の広いクラスにBV構造を拡張している。

ABSTRACT

Analogous to a recent result of N. Kowalzig and U. Kr\\"{a}hmer for twisted Calabi-Yau algebras, we show that the Hochschild cohomology ring of a Frobenius algebra with semisimple Nakayama automorphism is a Batalin-Vilkovisky algebra, thus generalizing a result of T.Tradler for finite dimensional symmetric algebras. We give a criterion to determine when a Frobenius algebra given by quiver with relations has semisimple Nakayama automorphism and apply it to some known classes of tame Frobenius algebras. We also provide ample examples including quantum complete intersections, finite dimensional Hopf algebras defined over an algebraically closed field of characteristic zero and Koszul duals of Koszul Artin-Schelter regular algebras of dimension three.

研究の動機と目的

• 対称代数におけるホッフシュルトコホモロジーのBV代数構造を、半単純ナカヤマ自己同型を備えたフロベニウス代数へ一般化すること。
• クイバーと関係式で与えられる代数におけるナカヤマ自己同型の半単純性の基準を確立すること。
• カルビ＝ヤウ代数および対称代数における既知のBV構造を、より広いクラスの自己同型代数へ拡張すること。
• 量子完全交差やアーティン＝シュレル正則代数のカウズル双対など、明示的な例を提示すること。

提案手法

• ナカヤマ自己同型を双モジュールのずらしとして用いて、ホッフシュルトコホモロジーにタマリン＝ツィガン計算を構成する。
• ナカヤマ自己同型の半単純性を活用し、適合する双対性同型の存在を保証することで、双対性を備えた微分計算を定義する。
• カップ積とキャップ積の構造を関連付けるために、ジンツブルグの関係式 ∂(z ∩ α) = ∂(z) ∪ α を用いる。
• ホッフシュルト微分と自己同型に関連するβ作用素の間の関係を表す恒等式 bβ_N + β_N b = 1 − T を適用する。
• Bをコネス作用素として、Δ = ∂ ∘ B ∘ ∂⁻¹ と定義することで、BV構造を構成する。
• 得られた構造がBV公理を満たすことを確認する：Δ² = 0 およびゲルステンハーバー括弧がカップ積とΔから導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フロベニウス代数のホッフシュルトコホモロジー環がいつバタリン＝ヴィルコヴィチ代数構造を持つのか。
• RQ2 クイバーと関係式で与えられるフロベニウス代数において、ナカヤマ自己同型の半単純性をどのように組み合わせ的に判定できるか。
• RQ3 双対性を備えたタマリン＝ツィガン計算が、対称代数とねじれカルビ＝ヤウ代数におけるBV構造をどのように統一するか。
• RQ4 量子完全交差やホープ代数など、ホッフシュルトコホモロジーにBV構造を持つ条件を満たす代数のクラスは何か。
• RQ5 この文脈において、ホッフシュルトコホモロジーとコホモロジーの双対性がBV作用素とどのように作用するか。

主な発見

• 任意の半単純ナカヤマ自己同型を備えたフロベニウス代数のホッフシュルトコホモロジー環は、バタリン＝ヴィルコヴィチ代数である。
• クイバーと関係式で与えられるフロベニウス代数におけるナカヤマ自己同型の半単純性を判定する組み合わせ的基準が提示された。
• この構成は、トライドラーの対称代数に関する結果およびコワルツィグ＝クレーマーのねじれカルビ＝ヤウ代数に関する結果を一般化する。
• 例として、量子完全交差、代数的閉体上での特徴数0の有限次元ホープ代数、および3次元のカウズル双対を備えたアーティン＝シュレル正則代数が含まれる。
• BV作用素ΔはΔ = ∂ ∘ B ∘ ∂⁻¹ として実現され、ここでBはコネス作用素、∂は双対性同型である。
• ジンツブルグの関係式∂(z ∩ α) = ∂(z) ∪ α は、計算とBV構造の整合性に不可欠である。