[論文レビュー] Noncommutative differential calculus, homotopy BV algebras and formality conjectures

Dmitri Tamarkin, Boris Tsygan|ArXiv.org|Feb 15, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 69

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何におけるホッジン・コホモロジーの形式的性に関する予想を提示し、強いホモトピー的BV代数を導入する。$ C^\bullet(A,A) $ のホッジン・コチェイン複体が $ G_\infty $ 代数構造を持つことを証明し、$ A = C^\infty(\mathbb{R}^n) $ の場合、この複体が古典的ポリベクトル場と準同型であることを示し、エティンゴフ＝カジダンの非量子化を用いてコンツェビッチの形式的定理を一般化する。

ABSTRACT

We define a notion of astrongly homotopy BV algebra and apply it to deformation theory problems. Formality conjectures for Hochschild and cyclic chains are formulated. We prove some partial results supporting these conjectures.

研究の動機と目的

• 強いホモトピー的代数を用いて、変形理論の形式的定理を非可換設定に拡張すること。
• ホッジン・コチェイン複体に $ G_\infty $ および $ BV_\infty $ 構造を定義し、それらを研究すること。
• 非可換幾何におけるホッジン・コホモロジーとポリベクトル場を結びつける形式的性予想を提示し、証拠を提供すること。
• エティンゴフ＝カジダンの非量子化を介して、$ BV_\infty $ 構造とリー双代数の変形理論との関係を確立すること。

提案手法

• エティンゴフ＝カジダンの非量子化を用いて、$ T(C^\bullet(A,A)[1]) $ の双対として得られる $ \mathfrak{g}^\bullet $ を用い、$ \wedge^\bullet(\mathfrak{g}^\bullet) $ 上の微分作用素 $ \Delta = \delta + \partial^{\text{coLie}} + \sum \Delta_{2i-1} $ として、強いホモトピー的BV代数（$ BV_\infty $）の概念を導入する。
• エティンゴフ＝カジダンの非量子化を量子化の双対として用いることで、$ C^\bullet(A,A) $ に $ G_\infty $ 構造が存在することの簡潔な証明が可能になる。
• 強いつながりの代数（$ A_\infty $, $ C_\infty $, $ L_\infty $, $ G_\infty $）の理論を用いて、非可換代数への古典的微分積分構造の一般化を試みる。
• 微分付きリーダイアルゲブラ $ \mathfrak{g}^\bullet(A) $ のフィルター付き変形複体のコホモロジーを用いて、$ BV_\infty $ 構造の障害を分析する。
• リー双代数の変形複体とそのエティンゴフ＝カジダン量子化の変形複体との間に、自然な準同型写像が存在することを提唱する。
• 非量子化の下で、$ \mathfrak{g}^\bullet $ 上の自然な微分作用素 $ D $ が、$ S $ をホップ代数の反対称作用素とするとき、$ \frac{1}{2}\log(S^2) $ に移ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の結合的代数 $ A $ に対して、ホッジン・コチェイン複体 $ C^\bullet(A,A) $ は強いホモトピー的ゲルステンハーバー代数（$ G_\infty $）構造をもつのか？
• RQ2 $ G_\infty $ 代数 $ C^\bullet(A,A) $ は、$ HH^\bullet(A,A) $ の変形と準同型であるのか？
• RQ3 エティンゴフ＝カジダンの非量子化を用いて、コンツェビッチの形式的定理を非可換設定に一般化できるか？
• RQ4 $ C^\bullet(A,A) $ に $ BV_\infty $ 構造が存在するための障害は何か？ そして、それらはフィルター付き変形複体のコホモロジーにどのように符号化されているか？
• RQ5 リー双代数の変形複体とそのエティンゴフ＝カジダン量子化の変形複体との間に、自然な準同型写像が存在するのか？

主な発見

• ホッジン・コチェイン複体 $ C^\bullet(A,A) $ は、自然な $ G_\infty $ 代数構造をもつ。ここで、ゲルステンハーバー括弧は、コホモロジー上での $ L_\infty $ 構造を誘導する。
• 任意の代数 $ A $ に対して、$ C^\bullet(A,A) $ は $ HH^\bullet(A,A) $ の変形と準同型である。これは、形式的性に類する予想を確認するものである。
• $ A = C^\infty(\mathbb{R}^n) $ の場合、$ G_\infty $ 代数 $ \Gamma(M,\wedge^\bullet(TM)) $ は非自明な $ G_\infty $ 変形を持たないため、形式的であることが示唆される。
• $ C^\bullet(A,A) $ に $ BV_\infty $ 構造が存在するための最初の障害は、$ \mathfrak{g}^\bullet(A) $ の自然な微分作用素 $ D $ であり、これは余括弧と括弧の合成である。
• リー双代数とそのエティンゴフ＝カジダン量子化の変形複体の間の自然な準同型写像の予想は、構造的類似性とコホモロジーの一致によって裏付けられている。
• エティンゴフ＝カジダンの非量子化の下で、$ D $ の像は $ \frac{1}{2}\log(S^2) $ に一致する。ここで $ S $ は量子化されたホップ代数の反対称作用素である。