[論文レビュー] The Hodge conjecture and arithmetic quotients of complex balls

Nicolas Bergeron, John J. Millson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 46被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、自動形式および表現の内紛分類を用いて、中心区間 ]n/3, 2n/3[ の外側の次数において、複素球で均質化されるヒツジィ・バニエーションのホッジ予想を確立する。同様に、類似範囲におけるタート予想および一般化されたホッジ予想も証明し、任意の符号性を持つユニタリ群への結果の拡張を、非連結群のトレース公式の安定化に条件付きで行う。

ABSTRACT

Let $S$ be a closed Shimura variety uniformized by the complex $n$-ball. The Hodge conjecture predicts that every Hodge class in $H^{2k} (S, \Q)$, $k=0, \ldots, n$, is algebraic. We show that this holds for all degree $k$ away from the neighborhood $]n/3, 2n/3[$ of the middle degree. We also address the Tate conjecture and the generalized form of the Hodge conjecture and extend most of our results to Shimura varieties associated to unitary groups of any signature. The proofs make use of the recent endoscopic classification of automorphic representations of classical groups by \cite{ArthurBook,Mok}. As such our results are conditional on the stabilization of the trace formula for the (disconnected) groups $\GL (N) times \langle θ angle$ associated to base change. Unfortunately, at present the stabilization of the trace formula has been proved only for the case of {\it connected} groups. The extension needed is part of work in progress by the Paris-Marseille team of automorphic form researchers. For more detail, see the second paragraph of subsection ef{org2} below.

研究の動機と目的

• 複素 n-球で均質化されるヒツジィ・バニエーションのコホロロジー次数が ]n/3, 2n/3[ の外側にある場合のホッジ予想の証明。
• これらの結果を任意の符号性を持つユニタリ群に関連するヒツジィ・バニエーションへ拡張すること。
• 同じコホロロジー次数におけるタート予想および一般化されたホッジ予想を確立すること。
• 非中心的次数において有理ホッジ類が代数的類と一致することを示すことにより、ホッジ予想の最も強い形に対する証拠を提供すること。
• 自動形式およびシータ対応に基づく枠組みを構築し、算術的商のコホロロジーを分析すること。

提案手法

• 自動形式とコホロロジー類を関連付けるために、グローバル・シータ対応およびラルリスの内積公式を用いる。
• 古典的群の自動形式的表現の内紛分類を適用し、コホロロジーのスペクトル分解を分析する。
• ねじれフォック型モデルおよび特別な (𝔘(p,q),K)-コホホロジー ψ_{bq,aq} を用いて、コホロロジー的表現を計算する。
• シュレーディンガー・モデルおよびボレル変換を介して作用素を構成し、コホホロジーと正則形式を関連付ける。
• ハード・リーフシュツの定理を用いて、レベルフィルトレーション N^c H^•(S,ℚ) の双対性不変性を示す。
• 最近のトレース公式理論の進展に依存するが、GL(N) ⋊ ⟨θ⟩ のトレース公式の安定化に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心区間 ]n/3, 2n/3[ の外側のコホロロジー次数において、複素球で均質化されるヒツジィ・バニエーションのホッジ予想は成り立つか？
• RQ2 同様の次数において、タート予想はこれらの多様体に対して確立可能か？
• RQ3 コホロロジーの次元 c の部分多様体に対して、一般化されたホッジ予想は、c に依存する中心区間から離れた範囲でどの程度成立するか？
• RQ4 グロタンディークの「右辺が一般にはホッジ構造でない」という警告にもかかわらず、複素球商のケースにおいて、ホッジ予想のより強い形（ℚ係数）は有効か？
• RQ5 自動形式およびシータリフトは、非中間次数におけるホッジ類の代数的性にどのように寄与するか？

主な発見

• S が複素 n-球で均質化されるコンパクトなヒツジィ・バニエーションであるとき、H^{2k}(S,ℚ) のすべての次数 k に対してホッジ予想が成り立つ。ただし k ∉ ]n/3, 2n/3[ である。
• タート予想は、ホッジ予想と同一のコホロロジー次数に対して証明された。
• 一般化されたホッジ予想は、中間次元を中心とする区間から離れた次数に対して成り立つ。この区間は部分多様体の余次元 c に依存する。
• q=1（複素球）の場合、H^n(S,ℚ) のレベル c のホッジ類は、a,b ≥ c を満たす H^{a,b}(S,ℂ) の和に正確に一致する。
• 非連結群 GL(N) ⋊ ⟨θ⟩ のトレース公式の安定化に条件付きで、結果は任意の符号性を持つユニタリ群へ拡張される。
• 本稿は、この特殊な場合において、右辺が一般にはホッジ構造でないにもかかわらず、ホッジ予想のより強い形（ℚ係数）が成立することを確認した。